Песок в вертикальной трубе

Обозначим через \(\mu_{\text{п}}\) коэффициент трения песка о песок. Песчинка на поверхности горки не будет с неё скатываться, если \(\operatorname{tg}\gamma < \mu_{\text{п}}\). Поскольку этот песок образует на горизонтальной поверхности горку с малым предельным углом при основании \(\gamma_0\), то \(\mu_{\text{п}} = \operatorname{tg}\gamma_0 \approx \gamma_0\). Понятно, что если высота столба песка очень велика, то давление внутри песка не зависит от этой высоты.

Рассмотрим слой песка толщиной \(h\) и массой \(m\). Давление на его верхнюю и нижнюю поверхности одинаково и равно \(p\). Следовательно, этот слой удерживается в равновесии силой трения, действующей на его боковую поверхность: \(mg = F_{\text{тр}}\). Если \(\mu < \mu_{\text{п}}\), то максимальная сила трения со стороны стенок \(F_{\text{тр}} = 2\pi Rh\cdot p\cdot\mu = \pi R^2\cdot h\cdot\rho g\). Отсюда \(p = \dfrac{\rho gR}{2\mu}\), поэтому сила давления песка на дно трубы равна \[F = \pi R^2\cdot p = \dfrac{\pi\rho gR^3}{2\mu}\quad\text{при }\mu < \gamma_0.\] В случае \(\mu > \gamma_0\) тонкий слой песка «прилипнет» к стенкам трубы, а остальной песок будет тереться о него с коэффициентом \(\mu_{\text{п}}\). При этом сила давления песка на дно трубы будет равна \[F = \dfrac{\pi\rho gR^3}{2\gamma_0}.\]