Шнурок в трубопроводе

Найдём из энергетических соображений ускорение шнурка \(a\) в данный момент времени. Приращение кинетической энергии шнурка массой \(m\) за малый промежуток времени \(\Delta t\) равно \[\Delta W = \dfrac{m(v + \Delta v)^2}{2} - \dfrac{mv^2}{2} \approx mv\Delta v = mva\Delta t.\] Уменьшение его потенциальной энергии за то же время связано фактически с «перемещением» малого отрезка шнурка длиной \(\Delta x = v\Delta t\) и массой \((m/L)\Delta x\) сверху вниз на расстояние \(h = 4R\), то есть \(\Delta U = \dfrac{m}{L}\Delta x\cdot gh = \dfrac{m}{L}v\Delta t\cdot g\cdot 4R\). Из закона сохранения механической энергии получаем: \(a = gh/L = 4gR/L = 2g/\pi\).

Мысленно разрежем теперь шнурок в какой-нибудь точке на два куска. Очевидно, что если место разреза выбрано так, что ускорения этих кусков совпадают, то сила натяжения шнурка в данной точке равна нулю, и наоборот. Пусть длины кусков равны \(l'\) и \(l''\), причём \(l' + l'' = L\). Применяя найденную выше формулу для ускорения и подставляя в неё вместо \(h\) разности высот концов этих кусков \(h'\) и \(h''\), получаем \(h'/l' = h''/l'' = h/L = 4R/L = 2/\pi\). Легко видеть, что этому условию удовлетворяют точки \(A_1\), \(B\) и \(A_2\) (см. рис. 1.131).