Присоединённая масса

Присоединённая масса меняет период колебаний шарика на пружине, \(T=2\pi\sqrt{m/k}\); архимедова сила лишь сдвигает положение равновесия и на период не влияет. Саму массу шарика найдите по удлинению пружины в воздухе и в воде.

\(m_v=m\left(\dfrac{T_2^2}{T_1^2}-1\right)\approx98\) г (при \(m\approx720\) г, \(T_1=1{,}066\) с, \(T_2=1{,}136\) с).

Основная идея состоит в том, что присоединённая масса изменит период колебаний шарика на пружине, который задаётся формулой \(T=2\pi\sqrt{m/k}\) и меняется при изменении массы. Измерим период \(T_1\) колебаний в воздухе, измерив время 20 колебаний и поделив его на 20. Аналогично измерим период \(T_2\) колебаний в воде. Тогда \[\frac{T_2^2}{T_1^2}=\frac{m+m_v}{m}\ \Longrightarrow\ m_v=m\left(\frac{T_2^2}{T_1^2}-1\right),\] где \(m\) — масса шарика, а \(m_v\) — присоединённая масса (заметим, что сила Архимеда в уравнения не входит, так как она является постоянной силой и лишь изменяет положение равновесия шарика на пружине, но не период). Периоды получились равными \(T_1=1{,}066\) с и \(T_2=1{,}136\) с.

Чтобы определить массу шарика, измерим удлинение \(x\) пружины в двух случаях: когда шарик висит в воздухе и когда он находится в воде. Шарик растягивает пружину на десятки сантиметров, поэтому эти расстояния можно измерить довольно точно. С учётом силы Архимеда в воде получаем \[kx_1=mg,\qquad kx_2=(m-\rho_vV)g,\] где \(V=\dfrac43\pi\left(\dfrac d2\right)^3\) (вместо первого уравнения \(kx_1=mg\) можно было бы использовать \(m/k=(T_1/2\pi)^2\); в зависимости от того, насколько точно измерен период, окончательный результат может оказаться точнее при таком способе). Отсюда находим \[m=\frac{\rho_vVx_1}{x_1-x_2}\approx 720\text{ г}.\] Наконец, присоединённая масса равна \(m_v\approx98\) г.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.