Груз на пружине

Энергия пружины \(W = F^2/(2k)\), где \(F\) — сила упругости. Какие направления ускорений возможны для силы упругости и силы тяжести разного знака?

Потенциальная энергия пружины \(W = \dfrac{F^2}{2k}\), откуда \(F = \sqrt{2kW}\). При \(W_2 = 25W_1\) получаем \(F_2 = 5F_1 = 5F\). Так как колебания происходят из нерастянутого положения, то пружина всегда деформирована, а модуль ускорения груза меньше \(g\). Обозначим \(a_2 = a > 0\), тогда \(a_1 = 2a\). Рассмотрим четыре случая направлений ускорений.

1) Оба ускорения вверх: \(F - mg = 2ma\), \(5F - mg = ma\). Отсюда \(4mg = -9ma\), \(a < 0\) — посторонний корень.

2) Оба ускорения вниз: \(mg - F = 2ma\), \(mg - 5F = ma\). Отсюда \(4mg = 9ma\), то есть \(a_2 = \dfrac{4}{9}g\), \(a_1 = \dfrac{8}{9}g\).

3) Первое вверх, второе вниз: \(F - mg = 2ma\), \(mg - 5F = ma\). Отсюда \(-4mg = 11ma\), \(a < 0\) — посторонний корень.

4) Первое вниз, второе вверх: \(mg - F = 2ma\), \(5F - mg = ma\). Отсюда \(4mg = 11ma\), то есть \(a_2 = \dfrac{4}{11}g\) (вверх), \(a_1 = \dfrac{8}{11}g\) (вниз).