Шары и перенос заряда

При первоначальном соприкосновении шаров исходный заряд второго шара перераспределился между шарами. При этом выполняются условия: \[q_1' + q_2' = q_2, \qquad \frac{q_1'}{4\pi\varepsilon_0 R_1} = \frac{q_2'}{4\pi\varepsilon_0 R_2}.\] Заряд второго шара, оставшийся на нём после соприкосновения, можно найти как \(q_2' = \varphi_2'\,4\pi\varepsilon_0 R_2\).

Заряды шаров после первого соприкосновения соотносятся как \[\frac{q_2'}{q_1'} = \frac{\varphi_2'\,4\pi\varepsilon_0 R_2}{q_2 - \varphi_2'\,4\pi\varepsilon_0 R_2}.\] После каждого соприкосновения пропорция перераспределения заряда между шарами будет той же, поскольку она определяется лишь формой и размерами тел. После бесконечного числа соприкосновений переход заряда от второго шара к первому прекратится, поэтому отношение зарядов \[\frac{q_2'}{q_1'} \to \frac{q_2}{q_1^{\infty}} = \frac{\varphi_2'\,4\pi\varepsilon_0 R_2}{q_2 - \varphi_2'\,4\pi\varepsilon_0 R_2}.\] Поэтому \(q_1^{\infty} = q_2\,\dfrac{q_2 - \varphi_2'\,4\pi\varepsilon_0 R_2}{\varphi_2'\,4\pi\varepsilon_0 R_2}\). Отсюда \[\varphi_1^{\infty} = \frac{q_1^{\infty}}{4\pi\varepsilon_0 R_1} = q_2\,\frac{q_2 - \varphi_2'\,4\pi\varepsilon_0 R_2}{\varphi_2'\,16\pi^2\varepsilon_0^2 R_1 R_2}.\]