Модель водяного колеса

В установившемся режиме вращения за один «такт», который состоит из падения одного груза в верхнюю ячейку и выбрасывания второго груза из нижней ячейки, в систему поступает энергия \(\Delta U = 2mgR\). Система приобретает эту энергию за счёт работы силы тяжести над грузами, лежащими в ячейках колеса. За то же самое время система теряет кинетическую энергию \(\Delta W_1 = mv^2/2\), которая уносится вываливающимся снизу грузом и, кроме того, некоторая энергия \(\Delta W_2\) рассеивается при абсолютно неупругом ударе во время падения груза в верхнюю ячейку. По аналогии с законом сохранения импульса, для нашей системы «падающий груз + колесо» при таком ударе можно записать: \[\dfrac{N}{2}mv = \left(\dfrac{N}{2} + 1\right)mu,\] где \(v\) — скорость обода до падения груза, \(u\) — после его падения. Потери энергии при ударе определяются соотношением: \[\Delta W_2 = \dfrac{N}{2}\cdot\dfrac{mv^2}{2} - \left(\dfrac{N}{2} + 1\right)\dfrac{mu^2}{2}.\] Выражая \(u\) из первого уравнения и подставляя во второе, получаем: \[\Delta W_2 = \dfrac{N}{2}\cdot\dfrac{mv^2}{2} - \left(\dfrac{N}{2} + 1\right)\cdot\dfrac{m}{2}\cdot\dfrac{N^2}{(N + 2)^2}v^2 = \dfrac{mv^2}{2}\left(\dfrac{N}{2} - \dfrac{N^2}{2(N + 2)}\right) = \dfrac{mv^2}{2}\cdot\dfrac{N}{N + 2}.\] При достаточно больших \(N\) (\(\sim 10^2\)) отношение \(\dfrac{N}{N + 2}\) имеет порядок единицы. Значит, \(\Delta W_2 \cong \dfrac{mv^2}{2}\). Этот результат означает, что в системе отсчёта, связанной с ободом колеса, падающий сверху груз тормозится почти до нулевой скорости.

Так как движение колеса является установившимся, то энергия, поступающая в систему за один «такт», и энергия, теряемая за то же время, должны быть одинаковы: \[\Delta U = \Delta W_1 + \Delta W_2,\quad\text{или}\quad 2mgR \cong \dfrac{mv^2}{2} + \dfrac{mv^2}{2}.\] Отсюда \(v = \sqrt{2gR}\), и для установившейся угловой скорости вращения колеса получаем: \[\omega = \dfrac{v}{R} \cong \sqrt{\dfrac{2g}{R}} \approx 4{,}4\text{ рад/с}.\]