Пластилин на чашке с пружиной

Перед столкновением с шариком скорость чашки была равна \(v = a\sqrt{k/m}\), а сразу после него — \(u\). Значение \(u\) можно определить из закона сохранения импульса при соударении: \(mv = (m + M)u\), откуда \(u = \dfrac{ma}{m + M}\sqrt{\dfrac{k}{m}}\).

Будем отсчитывать потенциальную энергию от положения равновесия пустой чашки. Тогда в момент сразу после прилипания шарика полная механическая энергия системы равна \(E = \dfrac{(M + m)u^2}{2} = \dfrac{kma^2}{2(M + m)}\). В моменты остановок чашки с шариком, то есть в моменты её наибольшего отклонения от положения равновесия, механическая энергия системы равна \[E = -(m + M)gb + \dfrac{k}{2}\left(\left(\dfrac{mg}{k} + b\right)^2 - \left(\dfrac{mg}{k}\right)^2\right) = \dfrac{kma^2}{2(M + m)},\] где \(b\) — отклонение от положения равновесия пустой чашки (\(b\) считается положительным при смещении чашки вниз). Отсюда получаем: \[b^2 - \dfrac{2Mg}{k}b - \dfrac{ma^2}{m + M} = 0.\] Оба корня этого квадратного уравнения \(b_1 < 0\) и \(b_2 > 0\) соответствуют верхней и нижней точкам остановки чашки, поэтому амплитуда колебаний системы после удара равна \[a_1 = \dfrac{b_2 - b_1}{2} = \sqrt{\dfrac{ma^2}{m + M} + \left(\dfrac{Mg}{k}\right)^2}.\]