Тяжёлый пружинный маятник

Масса \(n\) витков равна \(\gamma n\), где \(\gamma = m_0/n_0\). Для 10 витков запишите закон Гука для двух значений \(n\) и вычтите одно из другого; период \(T\) при этом линеен по \(n\).

Масса \(n\) витков: \(m = \gamma n\), \(\gamma = \dfrac{m_0}{n_0}\). Закон Гука для 10 витков с \(n_1\) и \(n_2\) витками под ними: \[k_{10}(l_{n_1} - l_0) = \gamma n_1 g, \qquad k_{10}(l_{n_2} - l_0) = \gamma n_2 g.\] Отсюда \[k_{10} = \frac{n_2 - n_1}{l_{n_2} - l_{n_1}}\,\gamma g.\] По графику 1 угловой коэффициент \(\dfrac{n_2-n_1}{l_{n_2}-l_{n_1}} = 106\) м\(^{-1}\), поэтому \(k_{10} = 106\,\gamma g = 0{,}83\) кг/с\(^2\). Жёсткость одного витка в 10 раз больше: \(k_0 = 10\,k_{10} = 8{,}3\) кг/с\(^2\).

Период колебаний \(n\) витков: \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\), где \(k = \alpha\dfrac{k_0}{n}\) — жёсткость обратно пропорциональна числу витков. Тогда \[T = 2\pi\sqrt{\frac{\gamma n^2}{\alpha k_0}} = B\,n, \qquad B = 2\pi\sqrt{\frac{\gamma}{\alpha k_0}}.\] Период линеен по \(n\); по графику 2 угловой коэффициент \(B = \dfrac{\Delta T}{\Delta n} = 0{,}04\) с. Отсюда \(\alpha = \dfrac{4\pi^2\gamma}{k_0 B^2}\), и жёсткость \(n\) витков \[k = \frac{4\pi^2\gamma}{B^2 n} = \frac{4\pi^2 m_0}{B^2\, n\, n_0} = \frac{19{,}7}{n}~\text{кг/с}^2.\] Жёсткость всей пружины (\(n = n_0 = 50\)): \(k_{\text{общ}} = \dfrac{19{,}7}{n_0} = 0{,}394\) кг/с\(^2\).

Второй способ: период 50 витков \(T = B n_0\), из \(k = m(2\pi/T)^2\) получаем тот же результат \(0{,}394\) кг/с\(^2\).