Политропа

Выразите теплоёмкость \(C\) через \(n\), затем запишите первое начало термодинамики и уравнение политропы в переменных \(T\) и \(V\).

Первое начало термодинамики: \(Q = \Delta U + A\), где \(Q = \nu C \Delta T\), \(\Delta U = \nu C_V \Delta T\). Тогда \(A = \nu (C - C_V)\,\Delta T\). Молярная теплоёмкость политропического процесса: \[C = \frac{n C_V - C_p}{n - 1}.\] Для одноатомного газа \(C_V = \dfrac{3}{2}R\), \(C_p = \dfrac{5}{2}R\), поэтому \[C = \frac{2\cdot\frac{3}{2}R - \frac{5}{2}R}{2-1} = \frac{1}{2}R.\] Из уравнения Менделеева–Клапейрона \(pV = \nu RT\) и уравнения политропы \(pV^n = \text{const}\) следует \(TV^{n-1} = \text{const}\), поэтому \[T_2 = T_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{n-1}.\]

Изменение температуры \(\Delta T = T_2 - T_1\). Работа \[A = \nu\left(\frac{R}{2} - \frac{3}{2}R\right)\Delta T = -\nu R\,\Delta T.\] Численно: \(A = -8{,}31\cdot(165{,}7) = -1377\) Дж.