Масса спирали лампочки

Температура нити колеблется из-за изменения в течение периода мгновенной тепловой мощности, выделяющейся в спирали при протекании по ней переменного тока. Для того, чтобы сделать грубую оценку, примем, что в течение четверти периода, то есть в течение времени \(1/(4f)\), теплота Джоуля — Ленца в спирали вообще не выделяется. За это время спираль излучает тепловую энергию \(\Delta Q = N\cdot\dfrac{1}{4f} = 0{,}5\) Дж, вследствие чего температура спирали понижается. Из уравнения теплового баланса для спирали лампочки получаем: \(Cm(T_2 - T_1) = \Delta Q\). Отсюда \(m = \dfrac{\Delta Q}{C(T_2 - T_1)} = \dfrac{N}{4fC(T_2 - T_1)} \approx 0{,}013\) г.

Можно получить и более точную оценку. Пусть напряжение на лампе изменяется со временем по закону \(U(t) = U_0\cos\omega t\), где \(\omega = 2\pi f\) — круговая частота колебаний напряжения. Тогда за малое время \(\Delta t\) в спирали выделяется теплота Джоуля — Ленца \(\Delta Q = \dfrac{U_0^2}{R}\cos^2\omega t\cdot\Delta t\), а в окружающую среду излучается количество тепла \(N\Delta t\). Разность этих двух количеств теплоты идёт на нагревание нити (то есть на увеличение температуры на \(\Delta T\); если \(\Delta T < 0\), то нить охлаждается). Исходя из уравнения теплового баланса, получаем: \[\left(\dfrac{U_0^2}{R}\cos^2\omega t - N\right)\Delta t = Cm\Delta T,\] откуда \[\dfrac{U_0^2}{2R} + \dfrac{U_0^2}{2R}\cos 2\omega t - N = Cm\dfrac{\Delta T}{\Delta t}.\] Усредним правую и левую части полученного уравнения по периоду изменения напряжения \(U\). Заметим, что \(\langle\cos 2\omega t\rangle = 0\), так как косинус является периодической функцией, симметричной относительно оси абсцисс, и \(\left\langle\dfrac{\Delta T}{\Delta t}\right\rangle = 0\), так как в среднем температура нити лампы постоянна. Поэтому среднее значение тепловой мощности, выделяющейся в спирали при протекании переменного тока, равно \(\langle N\rangle = \dfrac{U_0^2}{2R} \approx N\). С учётом этого получаем: \[\dfrac{\Delta T}{\Delta t} = \dfrac{N}{Cm}\cos 2\omega t,\] откуда \[T = T_0 + \dfrac{N}{2\omega Cm}\sin 2\omega t,\] где \(T_0 = \dfrac{T_1 + T_2}{2}\) — среднее значение, вокруг которого колеблется температура спирали \(T\). Из полученной зависимости следует, что установившиеся колебания температуры спирали происходят с частотой \(f' = \dfrac{2\omega}{2\pi} = 2f = 100\) Гц, как и указано в условии задачи. Диапазон этих температурных колебаний равен \(T_2 - T_1 = \dfrac{N}{\omega Cm}\), откуда для массы спирали находим: \(m = \dfrac{N}{2\pi fC(T_2 - T_1)} \approx 0{,}008\) г. Заметим, что уточнённая оценка для \(m\) отличается от первоначальной в меньшую сторону примерно в 1,5 раза.