Грузик падает на площадку

Направим координатную ось \(X\) вниз, начало отсчёта поместим в том месте, где находится площадка при недеформированной пружине, и будем далее рисовать графики проекций скорости и ускорения грузика на эту ось в зависимости от времени (см. рис. 1.205). До удара о площадку движение грузика является равноускоренным с ускорением \(g\). После удара, при движении сначала вниз, а затем вверх, до тех пор, пока грузик не оторвётся от площадки, — это гармоническое колебание с частотой \(\omega = \sqrt{k/m}\), происходящее вокруг положения равновесия \(x_0 = mg/k\). После отрыва от площадки грузик снова летит с ускорением \(g\) до следующего удара, и затем весь процесс повторяется.

Запишем закон сохранения механической энергии и найдём из него величину \(x_{\max}\) наибольшего сжатия пружины: \(mgh = \dfrac{kx_{\max}^2}{2} - mgx_{\max}\). Отсюда \(x_{\max} = \dfrac{mg}{k}\left(1 + \sqrt{1 + (2kh/(mg))}\right)\), и амплитуда колебаний \(A = x_{\max} - x_0 = \dfrac{mg}{k}\sqrt{1 + (2kh/(mg))}\). Максимальное по величине ускорение грузика достигается в момент наибольшего сжатия пружины и равно \(a_{\max} = \omega^2A = g\sqrt{1 + (2kh/(mg))}\). Максимальная скорость грузика при прохождении положения равновесия равна \(v_{\max} = \omega A = \sqrt{2gh + \dfrac{mg^2}{k}}\).