Свойства идеального кристалла

Равновесное расстояние найдите из условия нулевой силы \(f=-U'=0\). Для упругих свойств разложите силу при малом смещении, для предела прочности — найдите максимум силы притяжения, для расширения — несимметричность потенциальной ямы при энергии \(kT\).

а) \(\rho=m\sqrt{\dfrac{b}{2a}}\); б) \(\lambda=\dfrac{3b^2}{4am}\); в) \(E\approx12{,}7\,b\left(\dfrac{b}{a}\right)^{3/2}\); г) \(\sigma_{\text{н.р.}}\approx26{,}2\,b\left(\dfrac{b}{a}\right)^{3/2}\); д) \(\varepsilon_{\text{н.р.}}\approx0{,}11\); е) \(\alpha=\dfrac{7ak}{18b^2}\).

11-3. Вычислим силу взаимодействия между двумя атомами как функцию расстояния между ними

\[f = -U' = \frac{12a}{r^{13}} - \frac{6b}{r^7}.\tag{1}\]

Положению равновесия соответствует нулевая сила взаимодействия (или, что равносильно, минимум потенциальной энергии). Поэтому

равновесное расстояние между атомами (период решетки) найдем из условия \(f = 0\), из которого следует

\[r_0 = \left( \frac{2a}{b} \right)^{\frac{1}{6}}.\tag{2}\]

На один атом в кубической кристаллическое решетке приходится объем \(r_0^3\), следовательно плотность кристалла рассчитывается по формуле

\[\rho = \frac{m}{r_0^3} = m \sqrt{\frac{b}{2a}}.\tag{3}\]

Вычислим энергию связи, приходящуюся на один атом. Так как атом взаимодействует с \(n = 6\) ближайшими соседями, то его потенциальная энергия

\[u = \frac{n}{2} U(r_0) = -\frac{3b^2}{4a},\tag{4}\]

где учтено, что функция \(U(r)\) описывает энергию взаимодействия двух атомов. Для перехода из кристаллического в газообразное состояние нужно сообщить кристаллу энергию, необходимую для разрыва всех связей, иными словами, удельная теплота сублимации рассчитывается по формуле

\[\lambda = -\frac{u}{m} = \frac{3b^2}{4am}.\tag{5}\]

При отклонении атомов от положения равновесия возникает сила, стремящаяся вернуть атомы в исходное положение. При малых деформациях эта сила пропорциональна деформации. Для ее вычисления преобразуем формулу (1) при условии \(r = r_0 + x\), где \(x\) - малое отклонение от положения равновесия. В ходе преобразований необходимо использовать приближенную формулу, приведенную в условии задачи с учетом членов первого порядка малости

\[f = \frac{12a}{(r_0 + x)^{13}} - \frac{6b}{(r_0 + x)^7} = \frac{12a}{r_0^{13}} \left( 1 + \frac{x}{r_0} \right)^{-13} - \frac{6b}{r_0^7} \left( 1 + \frac{x}{r_0} \right)^{-7} \approx -\frac{36b}{r_0^7} \cdot \frac{x}{r_0}.\tag{6}\]

В поперечном сечении кристалла на один атом приходится площадь \(r_0^2\), следовательно, механическое напряжение в кристалле определяется формулой

\[\sigma = \frac{f}{r_0^2} = \frac{36b}{r_0^9} \cdot \frac{x}{r_0} = \frac{18}{\sqrt{2}} b \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{x}{r_0}.\tag{7}\]

Сравнивая с законом Гука \(\sigma = E \varepsilon\) (где \(\varepsilon = x / r_0\) - относительная деформация), получим выражение для модуля Юнга

\[E = \frac{18}{\sqrt{2}} b \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{3}{2}} \approx 12{,}7\, b \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{3}{2}}.\tag{8}\]

Сила взаимодействия между атомами принимает максимальное значение при некотором расстоянии \(r_1\). Если расстояние между атомами превысит \(r_1\), то сила взаимодействия (притяжения) начнет уменьшаться и, следовательно, при постоянной внешней силе кристалл разрушится. Найдем значение \(r_1\) из условия \(f' = 0\):

\[f' = -\frac{12 \cdot 13a}{r^{14}} + \frac{6 \cdot 7b}{r^8} = 0.\tag{9}\]

Из уравнения (9) находим расстояние \(r_1\), при котором сила притяжения максимальна

\[r_1 = \left( \frac{26a}{7b} \right)^{\frac{1}{6}}.\tag{10}\]

Таким образом, максимальное относительное удлинение кристалла до разрушения определяется соотношением

\[\varepsilon_{max} = \frac{r_1 - r_0}{r_0} = \left( \frac{13}{7} \right)^{\frac{1}{6}} - 1 \approx 0{,}11.\tag{11}\]

При таком удлинении сила взаимодействия и соответствующее механическое напряжение (которое и является предельной прочностью) определяются формулой

\[\sigma_{max} = \frac{U'(r_1)}{r_0^2} = \frac{18}{\sqrt{2}} \left( \frac{13}{7} \right)^{\frac{7}{6}} b \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{3}{2}} \approx 26{,}2b \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{3}{2}}.\tag{12}\]

Термическое расширение твердых тел связано с увеличением кинетической энергии колеблющихся атомов. С ростом температуры увеличивается диапазон изменения расстояний между атомами. Существенным фактором является несимметричность потенциальной кривой - максимальное отклонение от положения равновесия в большую сторону превышает отклонение в меньшую сторону. Обозначим максимальное и минимальное расстояния между атомами в ходе колебаний \(r_1\) и \(r_2\), соответственно. Тогда среднее расстояние между атомами может быть оценено как среднее арифметическое между этими величинами. Расстояния \(r_1\) и \(r_2\) являются корнями уравнения

\[U(r) = U(r_0) + kT,\tag{13}\]

где \(kT\) - средняя энергия одномерного колебательного движения атомов в кристаллической решетке (\(k\) - постоянная Больцмана, \(T\) - абсолютная температура). Если обозначить \(x = r^{-6}\) и принять во внимание, что \(U(r_0)=-\dfrac{b^2}{4a}\), то уравнение (13) примет вид

\[ax^2 - bx + \frac{b^2}{4a} - kT = 0,\tag{14}\]

корни которого находятся по формуле

\[x _ { 1 , 2 } = \frac { b } { 2 a } \left( 1 \pm \sqrt { \frac { 4 a k T } { b ^ { 2 } } } \right) .\tag{15}\]

Теперь можно найти значения \(r_1\) и \(r_2\):

\[r _ { 1 , 2 } = r _ { 0 } ( 1 \pm \delta ) ^ { - \frac { 1 } { 6 } } \approx r _ { 0 } ( 1 \mp \frac { \delta } { 6 } + \frac { 7 } { 7 2 } \delta ^ { 2 } ) ,\tag{16}\]

где обозначено \(\delta = \sqrt { \frac { 4 a k T } { b ^ { 2 } } }\) и использовано разложение степенной функции с учетом членом второго порядка малости. Среднее расстояние между атомами найдем, усредняя \(r_1\) и \(r_2\):

\[\overline { { { r } } } = \frac { r _ { 1 } + r _ { 2 } } { 2 } = r _ { 0 } \left( 1 + \frac { 7 } { 7 2 } \delta ^ { 2 } \right) = r _ { 0 } \left( 1 + \frac { 7 a k T } { 1 8 b ^ { 2 } } \right) .\tag{17}\]

Сравнивая выражение (17) с формулой термического расширения \(l = l _ { 0 } ( 1 + \alpha \Delta T )\), находим линейный коэффициент термического расширения

\[\boxed { \alpha = \frac { 7 a k } { 1 8 b ^ { 2 } } } .\tag{18}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.