Ток в моторе трамвая

Мощность тока равна сумме механической мощности и тепловых потерь; полезная мощность максимальна при \(I=U/(2R)\), и это соответствует максимальной скорости.

\(I=600\text{ А}\) (второй корень, \(32\text{ А}\), отвечает нереально малой мощности).

11-1. Мощность тока в цепи двигателя \(IU\) (\(I\) — сила тока в цепи двигателя, \(U\) — напряжение контактной цепи) равна сумме механической мощности \(\beta v^2\) (\(v\) — скорость движения трамвая, \(\beta v\) — сила сопротивления), затрачиваемой на преодоление сил сопротивления, и мощности джоулевых тепловых потерь \(I^2 R\) (\(R\) — полное электрическое сопротивление цепи двигателя):

\[IU = \beta v^2 + I^2 R.\tag{1}\]

Заметим, что слагаемое \(\beta v^2\) равно произведению силы тока на ЭДС индукции, возникающей в якоре электродвигателя при его вращении.

Выразим полезную мощность \(P = \beta v^2\) из уравнения (1):

\[\beta v^2 = IU - I^2 R.\tag{2}\]

Из вида зависимости \(P(I)\) следует, что полезная мощность достигает максимального значения при \(I = \dfrac{U}{2R}\), причем \(P_{\text{max}} = \dfrac{U^2}{4R}\).

При движении трамвая со скоростью \(v_0\), меньшей максимальной скорости, выполняется соотношение

\[\beta v_0^2 = I_0 U - I_0^2 R,\tag{3}\]

а при движении с максимальной скоростью справедливо

\[\beta v_{\text{max}}^2 = \frac{U^2}{4R}.\tag{4}\]

Решив уравнения (3)-(4), определим сопротивление цепи

\[R = \frac{U}{2I_0} \left(1 \pm \sqrt{1 - \frac{v_0^2}{v_{\text{max}}^2}}\right).\tag{5}\]

Два решения соответствуют тому, что полезная мощность квадратично зависит от силы тока (см. уравнение (2)), следовательно, её одно и то же значение может быть достигнуто при двух значениях сопротивления цепи..

При остановке трамвая сила тока в цепи двигателя станет равной

\[I = \frac { U } { R } = \frac { 2 I _ { 0 } } { 1 \pm \sqrt { 1 - \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { v _ { m a x } ^ { 2 } } } } .\]

Два рассчитанных по этой формуле значения силы тока равны \(600\text{А}\) и \(32\text{А}\). Для выбора одного из значений рассчитаем по формуле (4) максимальную мощность, достигаемую при данных значениях сопротивления и напряжения в цепи. Получаем \(99\) кВт при напряжении \(660\) В и токе \(600\) А и \(5{,}3\) кВт при \(660\) В и токе \(32\) А. Очевидно, что реальным является первое значение мощности трамвая, а следовательно, и первое значение силы тока, т.е. \(600\) А.

Ответ

\(I = 600\) А

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.