Невидимая стеклянная палочка

Палочка не видна в растворе, если показатели преломления стекла (из которого изготовлена палочка) и раствора совпадают при данных условиях (в этом случае свет никак не преломляется на границе стекла и раствора).

Обозначим через \(\alpha_T\) объёмную долю ацетона в растворе, в котором палочка незаметна при температуре этого раствора \(T\). Тогда объёмная доля бензола в таком растворе равна \((1 - \alpha_T)\). Для чистых жидкостей при температуре \(T_2 = 20\,^\circ\text{C}\) справедливы соотношения: \[n_{\text{А}}^2 = 1 + K_{\text{А}}N_{\text{А}};\quad n_{\text{Б}}^2 = 1 + K_{\text{Б}}N_{\text{Б}}.\] Для того, чтобы в растворе ацетона и бензола палочка не была видна при температуре \(20\,^\circ\text{C}\), должно выполняться условие: \[n_{\text{С}}^2 = 1 + \alpha_{20}K_{\text{А}}N_{\text{А}} + (1 - \alpha_{20})K_{\text{Б}}N_{\text{Б}}.\] Отсюда найдём объёмную долю ацетона в таком растворе при температуре \(20\,^\circ\text{C}\): \[\alpha_{20} = \dfrac{n_{\text{Б}}^2 - n_{\text{С}}^2}{n_{\text{Б}}^2 - n_{\text{А}}^2} = \dfrac{1{,}5^2 - 1{,}47^2}{1{,}5^2 - 1{,}36^2} \approx 0{,}222.\] При изменении температуры раствора объёмная доля ацетона не изменяется, поскольку коэффициенты объёмного расширения обеих жидкостей по условию одинаковы. В то же время концентрации молекул ацетона и бензола меняются, поскольку изменяется объём раствора: \(V = V_{20}(1 + \mu(T_1 - T_2))\). Таким образом, \(\alpha_{50}\) (объёмная доля ацетона в таком растворе, в котором стеклянная палочка незаметна при температуре \(T_1 = 50\,^\circ\text{C}\)) может быть найдена из условия: \[n_{\text{С}}^2 = 1 + \dfrac{\alpha_{50}K_{\text{А}}N_{\text{А}} + (1 - \alpha_{50})K_{\text{Б}}N_{\text{Б}}}{1 + \mu(T_1 - T_2)}.\] Отсюда, с учётом записанных выше соотношений для \(n_{\text{А}}\) и \(n_{\text{Б}}\): \[\alpha_{50} = \dfrac{n_{\text{Б}}^2 - 1 - (n_{\text{С}}^2 - 1)(1 + \mu(T_1 - T_2))}{n_{\text{Б}}^2 - n_{\text{А}}^2} =\] \[= \dfrac{1{,}5^2 - 1 - (1{,}47^2 - 1)\cdot(1 + 0{,}00124\cdot 30)}{1{,}5^2 - 1{,}36^2} \approx 0{,}115.\] Так как \(\alpha_{20} > \alpha_{50}\), для получения раствора с объёмной долей ацетона \(\alpha_{20}\) из раствора с объёмной долей ацетона \(\alpha_{50}\) в исходный раствор нужно добавлять ацетон. Объём исходного раствора после охлаждения до \(20\,^\circ\text{C}\) равен \[V_{20} = \dfrac{V}{1 + \mu(T_1 - T_2)} \approx 192{,}8\text{ мл}.\] В нём на долю бензола приходится объём \(V_{\text{Б}} = (1 - \alpha_{50})V_{20} \approx 170{,}7\) мл, который после добавления ацетона должен составлять долю \((1 - \alpha_{20})\) от нового объёма раствора \(V_{\text{н}}\). Отсюда \[V_{\text{н}} = \dfrac{V_{\text{Б}}}{1 - \alpha_{20}} \approx 219{,}5\text{ мл}.\] Таким образом, в раствор нужно добавить объём ацетона, равный \[\Delta V_{\text{А}} = V_{\text{н}} - V_{20} = \dfrac{n_{\text{С}}^2 - 1}{n_{\text{С}}^2 - n_{\text{А}}^2}\cdot\dfrac{\mu(T_1 - T_2)V}{1 + \mu(T_1 - T_2)} \approx\] \[\approx 219{,}5\text{ мл} - 192{,}8\text{ мл} \approx 26{,}7\text{ мл}\] (объём рассчитан при температуре добавляемого ацетона \(T_2 = 20\,^\circ\text{C}\)).