Сосуд с водой и воздухом

В начальный момент масса водяного пара \(M_{\text{пара}}\) очень мала по сравнению с массой воды в сосуде \(m\). Массу пара можно найти из уравнения Менделеева — Клапейрона, учитывая, что молярная масса воды \(\mu_{\text{воды}} = 18\) г/моль, а соответствующая нормальным условиям температура \(T_1 = 273\) К: \[M_{\text{пара}} = \dfrac{\mu_{\text{воды}}pV}{RT_1} \approx 0{,}15\text{ г} \ll m = 9\text{ г}.\] Поэтому можно считать, что вся вода вначале находилась в жидком состоянии. После разгона сосуда объёмом \(V = 31\) литр при установившейся температуре внутри него содержится \(m = 9\) г водяного пара при влажности \(r = 50\%\). Если бы при этой же температуре водяной пар был насыщенным, то в том же объёме находилось бы \(m/r = 18\) г водяного пара, то есть 1 моль.

Известно, что вода при атмосферном давлении кипит при \(100\,^\circ\text{C}\), то есть давление насыщенных паров воды при температуре \(T_2 = 373\) К равно \(p_{\text{атм}} = 10^5\) Па. Из уравнения Менделеева — Клапейрона находим, что при давлении \(10^5\) Па и температуре 373 К один моль водяного пара (18 г) занимает объём \[V = \dfrac{RT_2}{p_{\text{атм}}} \approx 31\text{ л},\] откуда следует, что в сосуде установилась температура, равная как раз \(T_2 = 373\) К.

В условии сказано, что стенки сосуда являются очень жёсткими, а это означает, что объём сосуда не изменяется. Стенки сосуда совершенно не проводят тепло, то есть энергия, которыми обладали воздух и вода, не теряется в результате теплопередачи. Перейдём в систему отсчёта, движущуюся поступательно со скоростью \(u\). В этой системе отсчёта сосуд сначала имел скорость \(u\), а затем резко остановился. Воздух и вода имели, как целое, кинетическую энергию \(\dfrac{Mu^2}{2}\) и некоторую внутреннюю энергию. После остановки сосуда суммарная энергия воды и воздуха осталась прежней, но теперь вода и воздух как целое не движутся, так что кинетическая энергия движения воды и воздуха, как целого, превратилась во внутреннюю энергию.

Из уравнения Менделеева — Клапейрона находим, что масса воздуха в сосуде равна \[M_{\text{возд}} = \dfrac{\mu p_{\text{атм}}V}{RT_1} \approx 39{,}6\text{ г}.\] Суммарная масса воды и воздуха \(M = m + M_{\text{возд}} = 48{,}6\) г. Изменение внутренней энергии можно подсчитать по частям. Воздух при постоянном объёме нагрелся на \(100\,^\circ\text{C}\). На это потребовалось количество тепла \(Q_1 = M_{\text{возд}}c_V(T_2 - T_1) \approx 2850\) Дж. Изменение внутренней энергии воды определяется только конечным и начальным состояниями системы и не зависит от процесса перехода. Поэтому можно считать, что сначала воду нагрели до \(100\,^\circ\text{C}\), а затем перевели её в парообразное состояние. На нагревание воды пошло количество тепла \(Q_2 = mC(T_2 - T_1) \approx 3780\) Дж. На парообразование пошло количество теплоты \(Q_3 = mL \approx 22500\) Дж.

Таким образом, общее изменение внутренней энергии равно кинетической энергии, которую имели вода и воздух: \[\Delta E = \dfrac{Mu^2}{2} = Q_1 + Q_2 + Q_3 \approx 29130\text{ Дж},\] откуда \[u = \sqrt{\dfrac{2\Delta E}{M}} \approx 1100\text{ м/с}.\]