Влажность в двух сосудах

При указанной температуре (а её по условию задачи поддерживают постоянной) давление насыщенных паров воды \(p_{\text{н}}\) много меньше, чем атмосферное давление, поэтому массой молекул воды можно пренебречь по сравнению с массой других газов, составляющих воздух. Масса газа в каждом сосуде пропорциональна произведению давления и объёма (в соответствии с уравнением Менделеева — Клапейрона). До открывания крана в обоих сосудах масса газа была одинакова и пропорциональна произведению \(p_1V_1 = p_2V_2 = 20\) атм \(\times\) л. После открывания крана в сосудах достаточно быстро установится одинаковое давление. Суммарный объём равен теперь 30 литрам, суммарная масса пропорциональна \(p_1V_1 + p_2V_2 = 40\) атм \(\times\) л. В соответствии с законом Бойля — Мариотта \(p_1V_1 + p_2V_2 = (V_1 + V_2)p_3\). Отсюда установившееся давление равно \(p_3 = \dfrac{p_1V_1 + p_2V_2}{V_1 + V_2} \approx 1{,}33\) атм. При этом из десятилитрового сосуда в двадцатилитровый сосуд перейдёт часть содержимого. Давление при постоянной температуре пропорционально концентрации молекул. Концентрация молекул в сосуде объёмом 20 литров уменьшилась в \(\dfrac{p_1}{p_3} = \dfrac{2\text{ атм}}{1{,}33\text{ атм}} \approx 1{,}5\) раза. Вместе с молекулами кислорода и азота, из которых в основном состоит воздух, из сосуда объёмом 10 литров в сосуд объёмом 20 литров при быстром установлении давления «перебрались» и молекулы воды, поэтому их концентрация тоже уменьшилась во столько же раз. Относительная влажность воздуха \(r = p/p_{\text{н}}\) при постоянной температуре пропорциональна концентрации молекул воды. Поэтому в малом сосуде влажность вначале уменьшится до величины \(r_{\min} = r_1\dfrac{p_3}{p_1} \approx 13{,}3\%\).

Со временем в результате диффузии в обоих сосудах установится одинаковая концентрация молекул воды. До открывания крана общее количество молекул воды было пропорционально величине \((V_1r_1 + V_2r_2)\). После установления равновесного распределения молекул воды их общее количество останется тем же и будет пропорционально \((V_1 + V_2)r_3\). Величина \(r_3\) и будет максимальной относительной влажностью воздуха в сосуде объёмом 10 литров: \[(V_1 + V_2)r_3 = (V_1r_1 + V_2r_2).\] Отсюда \[r_3 = r_{\max} = \dfrac{V_1r_1 + V_2r_2}{V_1 + V_2} \approx 33{,}3\%.\] Таким образом, после открывания крана относительная влажность воздуха в меньшем сосуде вначале, при выравнивании давлений в сосудах, уменьшится от \(r_1 = 20\%\) до \(r_{\min} \approx 13{,}3\%\), а затем во время процесса диффузии возрастёт до максимального значения \(r_{\max} \approx 33{,}3\%\).