Колебания пластины конденсатора

В процессе колебаний заряд пластин не изменяется, а эффективная площадь обкладок плоского конденсатора ёмкостью \(C\) изменяется в пределах от \(a^2\) до \(a(a - x)\), поскольку заряд концентрируется только на частях пластин, находящихся напротив друг друга. Энергия конденсатора \[W = \dfrac{Q^2}{2C} = \dfrac{Q^2d}{2\varepsilon\varepsilon_0a(a - x)}\] увеличивается с ростом \(x\), поэтому возникает возвращающая сила, которую можно найти из энергетических соображений. Поскольку работа возвращающей силы может совершаться только за счёт уменьшения энергии конденсатора, то, приравняв эту работу для малого перемещения \(\Delta x > 0\) изменению энергии конденсатора, взятому со знаком «минус» (это и означает «за счёт»), получаем: \[\Delta A = F\Delta x = -\Delta W = W_1 - W_2 =\] \[= \dfrac{Q^2d}{2\varepsilon\varepsilon_0a^2}\left(\dfrac{1}{1 - \dfrac{x}{a}} - \dfrac{1}{1 - \dfrac{x + \Delta x}{a}}\right) \approx -\dfrac{Q^2d\Delta x}{2\varepsilon\varepsilon_0a^3\left(1 - \dfrac{x}{a}\right)^2}.\] Здесь учтено, что \(\Delta x \ll x\). Поскольку \(x \ll a\), вторым слагаемым в скобках в знаменателе можно пренебречь, так что для силы находим: \[F \approx -\dfrac{Q^2d}{2\varepsilon\varepsilon_0a^3}.\] Получилось, что возвращающая сила в первом приближении постоянна по модулю, не зависит от смещения \(x\) и всегда направлена к положению равновесия! Таким образом, колебания пластины не будут гармоническими.

При переходе верхней пластины через положение равновесия возвращающая сила изменяет знак, сохраняя свою величину. На самом деле в данной системе при изменении знака \(x\) сила не может изменяться скачком. Само возникновение возвращающей силы связано с краевыми эффектами в конденсаторе, так что изменение знака силы в действительности происходит в диапазоне смещений порядка расстояния между пластинами \(d\), которое, согласно условию, значительно меньше начального смещения пластины \(x\). Поэтому при дальнейшем расчёте движения верхней пластины можно считать, что оно происходит под действием постоянной по модулю силы. При этом отклонённая и отпущенная без начальной скорости пластина будет двигаться к положению равновесия с постоянным по величине ускорением \[w = \dfrac{|F|}{m} = \dfrac{Q^2d}{2\varepsilon\varepsilon_0a^3m}.\] Положение равновесия будет достигнуто через время \[\tau = \sqrt{\dfrac{2x}{w}} = \sqrt{\dfrac{4\varepsilon\varepsilon_0a^3mx}{Q^2d}} = \dfrac{2a}{Q}\sqrt{\dfrac{\varepsilon\varepsilon_0amx}{d}}.\] Период колебаний, то есть время возврата пластины в исходное положение, очевидно, будет в четыре раза больше: \[T = 4\tau = \dfrac{8a}{Q}\sqrt{\dfrac{\varepsilon\varepsilon_0am}{d}\,x}.\] Отметим, что у данной системы период колебаний зависит от их амплитуды.