Механо-электрический осциллятор

Сила притяжения пластин зависит от расстояния как \(1/X^2\) при постоянном напряжении, поэтому электрическая сила смещает положение равновесия и меняет эффективную жёсткость. С катушкой колебания \(x\) и \(q\) связаны: для гармонического решения получается биквадратное уравнение на \(\omega^2\).

1) \(\ddot x=-\dfrac kmx\), \(\omega_0=\sqrt{k/m}\);  2) \(F_e=k(X_0-X_1)=\dfrac S2\varepsilon_0\Bigl(\dfrac U{X_1}\Bigr)^2\), \(U=X_1\sqrt{2k(X_0-X_1)/S\varepsilon_0}\);  3) \(\omega_1=\sqrt{\dfrac km\Bigl(3-\dfrac{2X_0}{X_1}\Bigr)}\);  4) \(2\omega^2=\omega_1^2+\omega_0^2\pm\sqrt{\ldots}\) (две частоты при \(X_0/X_1<3/2\)).

1) Из второго закона Ньютона \(m\ddot x=-kx\), откуда \(\ddot x=-\dfrac kmx\) и \(\omega=\sqrt{k/m}\).

2) По закону Гаусса заряд пластины \(Q=S\varepsilon_0E=S\varepsilon_0U/X_1\). Действующая на неё сила \(F_e=k(X_0-X_1)=Q\langle E\rangle\), где \(\langle E\rangle\) — среднее электрическое поле (усреднённое по зарядам). Рассмотрим заряженный слой (на поверхности пластины) при большом увеличении: поле в нём линейно зависит от суммарного заряда внутрь (в пластину) от данной точки. Следовательно, среднее поле — просто среднее арифметическое полей по обе стороны слоя: \(\langle E\rangle=E/2\). Итак, \(F_e=k(X_0-X_1)=QE/2\) (этот результат можно было получить из энергетических соображений, используя бесконечно малое виртуальное перемещение пластины и закон сохранения энергии). Таким образом, \(F_e=\dfrac S2\varepsilon_0(U/X_1)^2\), откуда \(U=X_1\sqrt{2k(X_0-X_1)/S\varepsilon_0}\).

3) Если пластины сместились на \(x\), изменение силы со стороны электрического поля равно \[\delta F_e=x\Bigl|\frac{d}{dX_1}\frac S2\varepsilon_0(U/X_1)^2\Bigr|=\frac x{X_1}S\varepsilon_0(U/X_1)^2;\] учитывая, что \(\frac S2\varepsilon_0(U/X_1)^2=k(X_0-X_1)\), получаем \(\delta F_e=2\dfrac x{X_1}k(X_0-X_1)\). Есть также изменение силы из-за упругости: \(\delta F_k=-kx\); эти две силы противоположны по знаку (при сближении пластин \(\delta F_k\) стремится оттолкнуть их назад, а \(\delta F_e\) — притянуть ещё ближе). Итак, \[\delta F=-kx\Bigl[1-2\Bigl(\frac{X_0}{X_1}-1\Bigr)\Bigr]=-kx\Bigl(3-2\frac{X_0}{X_1}\Bigr).\] Окончательно, \(\ddot x=\delta F/m=-x\dfrac km\Bigl(3-2\dfrac{X_0}{X_1}\Bigr)\) и \[\omega=\sqrt{\frac km\Bigl(3-2\frac{X_0}{X_1}\Bigr)}.\]

4) Теперь есть две колеблющиеся величины, \(x\) и \(q\). Сначала запишем уравнение по законам Кирхгофа: \(L\ddot q=-\dfrac qC-xQ\dfrac d{dX_1}C^{-1}\). Здесь второе слагаемое описывает изменение напряжения на конденсаторе из-за изменения ёмкости (реальное изменение мы заменяем дифференциалом, что верно для малых смещений). Заметим, что \(C^{-1}=X_1/S\varepsilon_0\) и \(Q=S\varepsilon_0U/X_1\); следовательно, \(\dfrac d{dX_1}C^{-1}=1/S\varepsilon_0\) и \[L\ddot q=-\frac qC-U\frac x{X_1}.\] Здесь знак второго слагаемого предполагает, что ось \(x\) направлена вверх (тока в катушке нет и \(L\ddot q=0\), если напряжение на конденсаторе остаётся постоянным; при увеличении заряда \(q>0\) это предполагает увеличение ёмкости, то есть \(x<0\); в полном согласии со знаками выражения выше).

Второе уравнение описывает второй закон Ньютона. Сначала заметим, что выражение для \(F_e\) можно переписать как \(F_e=Q^2/2S\varepsilon_0\). Значит, если заряд на пластине не меняется (\(q=0\)), то не меняется и \(F_e\). Итак, \(\delta F_e=q\dfrac d{dQ}Q^2/2S\varepsilon_0=qQ/S\varepsilon_0\). Бесконечно малые изменения сил (\(\delta F_k\) и \(\delta F_e\)) можно просто складывать: \[m\ddot x=-kx-qQ/S\varepsilon_0 .\] Теперь будем искать синусоидальное решение с круговой частотой \(\omega\). Тогда \(\ddot x=-\omega^2x\) и \(\ddot q=-\omega^2q\). Подставляя это в два полученных выше уравнения, находим \[\begin{cases}(L\omega^2-C^{-1})q=xU/X_1\\(\omega^2m-k)x=qQ/S\varepsilon_0\end{cases}.\] Это имеет ненулевое решение для \(x\) и \(q\), только если \[(L\omega^2-C^{-1})(\omega^2m-k)=UQ/X_1S\varepsilon_0 .\] Учитывая, что \(UQ/X_1=2k(X_0-X_1)\) и \(C=\varepsilon_0S/X_1\), можно переписать уравнение как \[(\varepsilon_0SL\omega^2-X_1)(\omega^2m-k)=2k(X_0-X_1).\] Введя \(\omega_0^2=k/m\) и \(\omega_1^2=X_1/\varepsilon_0SL\), можно далее переписать его в виде \[\omega^4-\omega^2(\omega_1^2+\omega_0^2)+\omega_0^2\omega_1^2\Bigl(3-2\frac{X_0}{X_1}\Bigr)=0 .\] Следовательно, \[2\omega^2=\omega_1^2+\omega_0^2\pm\sqrt{\omega_1^4+\omega_0^4+2\omega_1^2\omega_0^2(4X_0X_1^{-1}-5)},\]

то есть в системе две собственные частоты, если \(\dfrac{X_0}{X_1}<\dfrac32\) (иначе система становится неустойчивой).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.