Водяной насос

Во вращающейся системе отсчёта добавляется потенциальная энергия центробежной силы \(\omega^2r^2/2\) на единицу массы, и можно пользоваться уравнением Бернулли. Самое низкое давление — в верхней точке трубы.

1) \(p_2=p_0-\rho gh+\frac12\rho\omega^2r^2\);  2) \(v_2=\sqrt{2(\omega^2r^2-gh)}\);  3) \(\omega_m=r^{-1}\sqrt{2gh+2\Bigl(\dfrac{p_0-p_k}{\rho}-gh\Bigr)\Bigl(\dfrac{S_1}{S_2}\Bigr)^2}\);  4) \(\mu_{\max}=P/2gh\).

1) Рассмотрим процесс в системе, вращающейся вместе с баком. Тогда есть потенциальная энергия, связанная с центробежной силой: \(U_c=\int_0^r\omega^2r\,dr=\frac12\omega^2r^2\). Итак, давление \(p_2=p_0-\rho gh+\frac12\rho\omega^2r^2\).

2) Из формулы Бернулли \(\frac12\rho u^2=p_2-p_0=\frac12\rho\omega^2r^2-\rho gh\), следовательно, квадрат скорости во вращающейся системе отсчёта \(u^2=\omega^2r^2-2gh\). Скорость в лабораторной системе \(v_2^2=u^2+\omega^2r^2=2(\omega^2r^2-gh)\), то есть \(v_2=\sqrt{2(\omega^2r^2-gh)}\).

3) Точка наименьшего давления \(p_m\) внутри насоса — верхняя точка трубы. По формуле Бернулли \(p_0=p_m+\rho gh+\frac12\rho v_1^2\), где скорость в трубе находится из условия неразрывности: \(S_1v_1=S_2u=S_2\sqrt{\omega^2r^2-2gh}\). Следовательно, \[p_m=p_0-\rho gh-\frac12\rho(\omega^2r^2-2gh)\Bigl(\frac{S_2}{S_1}\Bigr)^2.\] Заметим, что «кипение» начинается, когда \(p_m=p_k\). Итак, \[\omega_m^2r^2=2gh+2\Bigl(\frac{p_0-p_k}{\rho}-gh\Bigr)\Bigl(\frac{S_1}{S_2}\Bigr)^2;\] окончательно получаем \[\omega_m=r^{-1}\sqrt{2gh+2\Bigl(\frac{p_0-p_k}{\rho}-gh\Bigr)\Bigl(\frac{S_1}{S_2}\Bigr)^2}.\]

4) Максимальная производительность, очевидно, достигается при наибольшем КПД. КПД наибольший, когда остаточная скорость наименьшая: \(u\to0\) и \(\omega\to\omega_{\min}\). По результатам второго вопроса \(\omega_{\min}=r^{-1}\sqrt{2gh}\). Итак, минимальная остаточная скорость водяных струй \(v_{\min}=\omega_{\min}r=\sqrt{2gh}\). Связанная с ней потерянная мощность \(\frac12\mu v_{\min}^2=\mu gh\). Полезная мощность связана с увеличением потенциальной энергии (на \(gh\)), то есть полная мощность \(P=2\mu gh\). Следовательно, \(\mu=P/2gh\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.