Баллистическая ракета

Полная энергия зависит только от большой полуоси, поэтому орбита имеет ту же большую полуось, что и круговая. Сумма расстояний от точки эллипса до двух фокусов постоянна и равна \(2a\); время полёта — доля периода, равная доле площади, заметаемой радиус-вектором.

1) \(a=R\);  2) \(h=R/\sqrt2\approx4500\) км;  3) \(\tau=(\pi+\sqrt2)\sqrt{R/g}\).

1) Полная энергия зависит только от большой полуоси. Следовательно, большая полуось такая же, как в случае околоземной орбиты: \(a=R\).

2) У эллипса есть свойство: сумма расстояний от каждой точки орбиты до обоих фокусов орбиты постоянна (равна \(2a\)). Следовательно, второй фокус (то есть не центр Земли) находится на расстоянии \(R\) и от точки запуска, и от точки приземления, см. рисунок. Итак, высота \(h=|CB|=|OB|-R\); так как \(|OB|=R+\frac12|OO'|=R\bigl(1+\frac{\sqrt2}{2}\bigr)\), окончательно получаем \(h=\dfrac{R}{\sqrt2}\).

3) Отношение времени полёта к периоду обращения по эллиптической орбите равно отношению двух площадей: закрашенной на рисунке тёмно-серым и полной площади эллипса. Период обращения такой же, как в случае околоземной орбиты (по третьему закону Кеплера), \(T=2\pi R/v=2\pi\sqrt{R/g}\). Площадь, закрашенная тёмно-серым, вычисляется как сумма половины площади эллипса и площади треугольника. Итак, \[\tau=T\cdot\Bigl(\frac\pi2R\cdot\frac{R}{\sqrt2}+R^2/2\Bigr)\Big/\Bigl(\pi R\cdot\frac{R}{\sqrt2}\Bigr)=(\pi+\sqrt2)\sqrt{R/g}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.