Скалолаз

Ускорение скалолаза в нижней точке падения определяется силой натяжения верёвки, а она — деформацией по графику. Остановка скалолаза происходит, когда работа силы тяжести целиком перешла в энергию деформации верёвки — площадь под графиком.

1) \(l<0{,}315\,(L+H)+L\);  2) \(L\approx5{,}08\) м.

1) При падении ускорение не должно превышать \(5g\), то есть \(\dfrac{\sigma(\varepsilon)}{m}-g<5g\). Максимальная деформация — решение уравнения \(\sigma(\varepsilon)=6gm=6\times9{,}8\ \text{м/с}^2\times80\ \text{кг}=4{,}7\) кН. По графику \(\varepsilon=0{,}315\), поэтому \(l<0{,}315\,(L+H)+L\).

2) При падении скалолаз достигает нижней точки, когда его скорость становится равной нулю. Это означает, что энергия, поглощённая верёвкой, равна изменению потенциальной энергии: \[E=mg(2L+x),\] где \(x=l-L\). Энергия, поглощённая верёвкой, равна \[E=\int\sigma(\varepsilon)\,dx=\int\sigma(\varepsilon)(L+H)\,d\varepsilon=(L+H)\int\sigma(\varepsilon)\,d\varepsilon .\] Мы знаем максимальное значение \(\varepsilon=0{,}315\), поэтому интеграл можно вычислить численно как площадь под графиком: \[S(\varepsilon)=\int_0^{0{,}31}\sigma(\varepsilon)\,d\varepsilon\approx564{,}8\ \text{Н}.\]

Таким образом, \[(L+H)S(\varepsilon)=mg(2L+x)=mg\bigl(2L+\varepsilon(L+H)\bigr),\] откуда \[L=\frac{H\bigl(mg\varepsilon-S(\varepsilon)\bigr)}{S(\varepsilon)-mg(\varepsilon+2)}\approx5{,}08\ \text{м}.\] Итак, новый карабин нужно закрепить в пределах следующих \(L=5{,}08\) м.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.