Магнитный тормоз

Подсказка

Бесконечную периодическую цепь можно «обрезать» на один период, не изменив её сопротивления, — это даёт уравнение на \(R_0\). В поле всегда находятся две соседние «шпалы»: это два источника ЭДС \(Bvh\), а остальная цепь распадается на две одинаковые длинные «железные дороги».

Ответ

1) \(R\approx5{,}59\) мОм;  2) \(R_0=R\bigl(\sqrt{\alpha(\alpha+2)}-\alpha\bigr)\);  4) \(k=\dfrac{2r^2h^2}{\sqrt{\alpha(2+\alpha)}+\alpha+1}\approx2{,}12\cdot10^{-6}\);  5) \(M\approx0{,}39\) мН\(\cdot\)м;  6) \(\tau=\dfrac{IR}{kB^2}\approx2{,}9\) с.

Решение

1) «Шпала» — простой цилиндрический проводник: \[R=\frac{\rho h}{(\frac{\delta}{2})^2\pi}\approx5{,}59\ \text{мОм}.\]

2) Длина элемента «железной дороги» — \(\alpha h\), поэтому сопротивление участка «рельса» равно \(R_2=\alpha R\). Основные идеи: во-первых, можно представить, что «железная дорога» бесконечна; во-вторых, сопротивление (\(R_R\)) этой бесконечной цепочки не изменится, если отрезать один периодический элемент. Следовательно, \[R_R=\frac{R(2R_2+R_R)}{2R_2+R_R+R}.\] После решения уравнения \[R_R=-R_2\pm\sqrt{R_2^2+2R_2R}=\sqrt{R_2^2+2R_2R}-R_2,\] отбросив отрицательное решение уравнения (оно не имеет физического смысла), получаем \[R_R=R\bigl(\sqrt{\alpha(\alpha+2)}-\alpha\bigr).\]

3) Важные идеи:

• электродвижущая сила возникает, когда проводники движутся в магнитном поле;

• между магнитами (в магнитном поле) всегда движутся две «шпалы»;

• эти «шпалы» служат источниками ЭДС (как батарейки);

• эти «шпалы» имеют также внутреннее сопротивление \(R\).

Заметим также, что можно воспользоваться симметрией и соединить точки с равными потенциалами; это позволит позже свести кольцевую «железную дорогу» к уже решённой бесконечной (на самом деле очень длинной). Видно также, что между двумя «шпалами», находящимися в магнитном поле, тока нет (нет разности потенциалов), поэтому их можно разъединить. Так мы получаем две независимые (почти) бесконечные «железные дороги», и у каждой есть свой источник ЭДС.

На рисунке: \(R\) — «шпала», \(\alpha R\) — участок «рельса»; две батарейки — «шпалы» в поле.

4) ЭДС в «шпале» равна \(\mathcal E=Bvh\). Энергия рассеивается в тепло: \(P=\dfrac{\mathcal E^2}{R_{\text{цепи}}}\), где \(R_{\text{цепи}}=\frac12(R_R+2\alpha R+R)\), \[R_{\text{цепи}}=\frac12R\Bigl(\sqrt{\alpha(2+\alpha)}+\alpha+1\Bigr).\] Следовательно, \[P=\frac{2B^2\omega^2r^2h^2}{R\Bigl(\sqrt{\alpha(2+\alpha)}+\alpha+1\Bigr)}.\] Окончательно, \[k=\frac{2r^2h^2}{\sqrt{\alpha(2+\alpha)}+\alpha+1}\approx2{,}12\times10^{-6}.\]

5) Поскольку мощность равна \(M\omega=P\), момент можно найти как \[M=\frac P\omega=\frac{2B^2\omega r^2h^2}{R\Bigl(\sqrt{\alpha(2+\alpha)}+\alpha+1\Bigr)}\approx0{,}39\ \text{мН}\cdot\text{м}.\]

6) Момент инерции диска равен \(I=\frac12mr^2\); угловое ускорение \(\varepsilon=\dfrac MI=\dfrac{d\omega}{dt}\). Следовательно (с учётом того, что момент тормозящий), \[\frac{kB^2\omega}{IR}=-\frac{d\omega}{dt}.\] Разделяя переменные, получаем \[\frac{kB^2}{IR}\,dt=-\frac{d\omega}{\omega}.\] Интегрирование обеих частей даёт \[\int_0^t\frac{kB^2}{IR}\,dt=-\int_{\omega_0}^{\omega}\frac{d\omega}{\omega}\ \Rightarrow\ \frac{kB^2}{IR}\,t=-\ln\frac{\omega}{\omega_0},\] \[\omega=\omega_0e^{-\frac{kB^2}{IR}t},\qquad\text{и, наконец,}\qquad\tau=\frac{IR}{kB^2}\approx2{,}9\ \text{с}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.