Воздух в подводной лодке

Скорость струи — по уравнению Бернулли; сжатие воздуха быстрое, значит, адиабатное; энергия турбулентности — работа внешнего давления минус изменение внутренней энергии газа.

i) \(Q\approx0{,}153\) м\(^3\)/с \(\approx150\) л/с;  ii) \(V_f\approx0{,}9\) м\(^3\);  iii) \(K_{\text{турб}}\approx2{,}2\times10^7\) Дж.

i) Нужно вычислить объёмный расход (в м\(^3\)/с), с которым вода втекает. Мы знаем \(A=20\) см\(^2\). Применим уравнение Бернулли, где начальная точка — в море, а конечная — в отверстии: \[P_i+\underbrace{\tfrac12\rho v_i^2}_{=0}=P_f+\tfrac12\rho v_f^2, \tag{1}\] откуда получаем \[v_f=\sqrt{\frac{2\Delta P}{\rho}}\approx\sqrt{2gh}=76{,}72\text{ м/с}. \tag{2}\] Здесь \(v_f\) — скорость, с которой вода втекает. Подставляя её в формулу для объёмного расхода: \[Q=Av_f=0{,}153\ \frac{\text{м}^3}{\text{с}}\approx150\ \frac{\text{л}}{\text{с}}. \tag{3}\]

ii) Атмосферный воздух состоит в основном из двухатомных азота и кислорода. При рассматриваемых температурах у этих молекул \(f=5\) степеней свободы: 3 поступательных и 2 вращательных. Показатель адиабаты \(\gamma=(f+2)/f=7/5\). Тот же результат можно получить из \(\gamma=(c_V+R)/c_V\). Для адиабатного сжатия имеем \[p_iV_i^\gamma=p_fV_f^\gamma. \tag{4}\] Конечное давление — это давление моря, примерно \(p_0+\rho gh=(10^5+1000\cdot9{,}8\cdot300)\ \text{Па}\approx3\) МПа. Это даёт \[V_f=V_i\left(\frac{p_i}{p_f}\right)^{5/7}\approx0{,}9\text{ м}^3. \tag{5}\] Замечание: конечная температура лишь примерно в 2,6 раза больше начальной, так что колебательные степени свободы молекул учитывать не нужно.

iii) Работа \(W\), совершаемая над системой (состоящей из всей лодки) окружающей водой, равна \(W=P_c\Delta V\), где \(P_c\) — постоянное давление окружающей воды. Теплообмена нет, поэтому эта работа должна равняться изменению внутренней энергии системы: \[W=\Delta U_{\text{газа}}+\Delta U_{\text{воды}}=c_Vn\Delta T+K_{\text{турб}}, \tag{6}\] где \(K_{\text{турб}}\) — искомая величина, и получаем \[K_{\text{турб}}=P_c\Delta V-c_Vn\Delta T. \tag{7}\] Нам нужно значение \(n\) (замечание: его можно найти и из закона идеального газа): \[n=\frac mM, \tag{8}\] где \(m=1{,}23\ \dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}\cdot10\text{ м}^3=12{,}3\) кг и \(M=0{,}02897\ \dfrac{\text{кг}}{\text{моль}}\). Подставляя значения, получаем \(n\approx424\) моль. Конечную температуру можно вычислить из начальной, используя, что \(p^{1-\gamma}T^\gamma\) сохраняется. Подставляя все остальные значения, получаем: \[K_{\text{турб}}\approx2{,}2\times10^7\text{ Дж}. \tag{9}\]

Альтернативное решение. Можно также рассматривать газ и воду (внутри лодки) как отдельные подсистемы. Работа, совершённая над газом, равна изменению внутренней энергии газа: \[\int P_g\,\mathrm dV=c_Vn\Delta T. \tag{10}\] Работа, совершённая над водой внутри лодки водой снаружи, равна \(P_c\Delta V\). Вода внутри лодки также совершает работу над газом, равную \(\int P_g\,\mathrm dV\). Изменение внутренней энергии воды в лодке тогда \[K_{\text{турб}}=P_c\Delta V-\int P_g\,\mathrm dV=P_c\Delta V-c_Vn\Delta T, \tag{11}\] где последнее равенство следует из уравнения (14). Дальше действуем так, как уже написано выше.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.