Куб

Сила равна \(\frac Pc(\vec t-\vec t')\) — разности единичных векторов направления луча до и после куба; отражение внутри куба возможно только как полное внутреннее, что ограничивает составляющие направления.

i) \(F=2\dfrac Pc\sqrt{n^2-1}\) при \(n<\sqrt2\), иначе \(F=2\dfrac Pc\);  ii) \(F=2\sqrt2\,\dfrac Pc\sqrt{n^2-1}\) при \(n<\sqrt{3/2}\), иначе \(F=2\dfrac Pc\).

Куб толкается светом, отражающимся от его поверхностей. Поскольку частичного отражения нет, свет может отражаться внутри куба только полным внутренним отражением.

Пусть грани куба выровнены по осям \(x\)-\(y\)-\(z\), и пусть свет входит через грань, перпендикулярную оси \(z\).

До входа в куб пусть единичный вектор вдоль движения света будет \(\vec t=(t_x,t_y,t_z)\), после входа в куб — \(\vec r=(r_x,r_y,r_z)\), перед выходом из куба — \(\vec r'=(r'_x,r'_y,r'_z)\), а после выхода из куба — \(\vec t'=(t'_x,t'_y,t'_z)\). Каждый раз, когда свет отражается от одной из сторон куба, соответствующая составляющая \(\vec r\) меняет знак.

i) Лазерный луч ограничен распространением в двумерной плоскости. Возьмём \(t_y=0\), \(r_y=0\), \(r'_y=0\) и \(t'_y=0\).

За время \(\mathrm dt\) лазерная указка генерирует свет с полной энергией \(P\,\mathrm dt\), несущий импульс \(\dfrac Pc\,\mathrm dt\). За это время такое же количество света входит в куб и выходит из него, только с другим направлением. По третьему закону Ньютона куб должен приобрести импульс \(\mathrm d\vec p=\dfrac Pc\,\mathrm dt\,(\vec t-\vec t')\) и, значит, испытывает силу \(\vec F=\dfrac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt}=\dfrac Pc(\vec t-\vec t')=\dfrac Pc\sqrt{(t_x-t'_x)^2+(t_z-t'_z)^2}\). Это значит, что нужно максимизировать величину \((t_x-t'_x)^2+(t_z-t'_z)^2\).

Закон Снелла можно записать как \(nr_x=t_x\) и \(nr'_x=t'_x\), поскольку \(t_x\) и \(r_x\) — синусы углов падения и преломления соответственно.

Лазерный луч может отражаться только от стороны, перпендикулярной оси \(x\); путь луча с внутренним отражением показан на рисунке. Таким образом, \(r'_z=r_z\) и \(t'_z=t_z\). Рассмотрим отражение от \(x\)-грани. Угол падения: \(\cos\alpha=r_x\). Условие полного внутреннего отражения: \(\sin\alpha\,n\ge1\). Преобразуя, получаем \(\cos\alpha<\sqrt{1-\dfrac1{n^2}}\), или \(r_x<\sqrt{1-\dfrac1{n^2}}\). Это значит, что \(t_x<\sqrt{n^2-1}\).

Сила максимальна, когда лазерный луч отражается от куба нечётное число раз. Тогда \(r'_x=-r_x\) и \(t'_x-t_x<2\sqrt{n^2-1}\). Таким образом, \(F=\dfrac Pc\sqrt{(t_x-t'_x)^2+(t_z-t'_z)^2}<\dfrac{2P}{c}\sqrt{n^2-1}\). Заметим, что \(t_x^2+t_z^2=1\), поэтому \(t_x<1\). Это значит, что сила не может быть больше \(\dfrac{2P}{c}\). Тогда максимальная сила равна \[F=\begin{cases}2\dfrac Pc\sqrt{n^2-1}, & \text{если } n<\sqrt2,\\[2mm] 2\dfrac Pc, & \text{иначе.}\end{cases}\]

ii) Действуем аналогично предыдущему пункту; главное отличие в том, что \(y\)-составляющая не обязана быть равной нулю.

Вход в куб сохраняет направление движения света в плоскости \(x\)-\(y\). Поэтому \(\dfrac{t_x}{t_y}=\dfrac{r_x}{r_y}\). Закон Снелла можно записать как \(\sqrt{t_x^2+t_y^2}=n\sqrt{r_x^2+r_y^2}\), так как \(\sqrt{t_x^2+t_y^2}\) и \(\sqrt{r_x^2+r_y^2}\) — синусы углов падения и преломления. Объединяя эти уравнения, получаем \(r_x=\dfrac{t_x}{n}\), \(r_y=\dfrac{t_y}{n}\). Аналогично \(t'_x=nr'_x\) и \(t'_y=nr'_y\).

Отражения от сторон куба не меняют модулей \(r_x\) и \(r_y\). Таким образом, \(t'_z=t_z\). Это значит, что величину \((t_x-t'_x)^2+(t_y-t'_y)^2\) нужно максимизировать, и это происходит при \(r'_y=-r_y\) и \(r'_x=-r_x\), так что \(F=2\dfrac Pc\sqrt{t_x^2+t_y^2}=2n\dfrac Pc\sqrt{r_x^2+r_y^2}\).

По тем же рассуждениям, что и в предыдущем пункте, условие для отражения от \(x\)-грани — \(t_x<\sqrt{n^2-1}\). Аналогично, для \(y\)-грани должно выполняться \(t_y<\sqrt{n^2-1}\). Это значит, что \(r_x^2+r_y^2<2\left(1-\dfrac1{n^2}\right)\). С другой стороны, \(t_x^2+t_y^2+t_z^2=1\), поэтому \(t_x^2+t_y^2<1\) и \(r_x^2+r_y^2<\dfrac1{n^2}\). Таким образом, \(r_x^2+r_y^2<\min\left(2\left(1-\dfrac1{n^2}\right),\dfrac1{n^2}\right)=\dfrac1{n^2}\min\left(2(n^2-1),1\right)\). Максимальная сила, которую может испытывать куб, тогда равна \[F=\begin{cases}2\sqrt2\,\dfrac Pc\sqrt{n^2-1}, & \text{если } n<\sqrt{3/2},\\[2mm] 2\dfrac Pc, & \text{иначе.}\end{cases}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.