LCR-цепь

В каждой ветви напряжения на соседних элементах сдвинуты по фазе на \(90^\circ\), поэтому по теореме Фалеса точки \(D\), \(E\), \(F\) лежат на окружности с диаметром \(AB\).

\(V_0=V_{AB}=25\) В.

i) Рассмотрим сначала верхнюю ветвь цепи, состоящую из конденсатора \(C\) и резистора \(R_2\). Через оба элемента течёт один и тот же ток \(I_1\), так что комплексные амплитуды напряжений равны \(I_1/(i\omega C)\) и \(I_1R_2\) соответственно. Деление на мнимую единицу поворачивает вектор на комплексной плоскости по часовой стрелке на \(\pi/2\), следовательно, вектор напряжения на резисторе повёрнут относительно напряжения на конденсаторе против часовой стрелки на \(\pi/2\). Аналогичный анализ приводит к выводу, что напряжение на катушке \(L_1\) повёрнуто относительно напряжения на резисторе \(R_0\) против часовой стрелки на \(\pi/2\), а напряжение на резисторе \(R_1\) повёрнуто относительно напряжения на катушке \(L_0\) по часовой стрелке на \(\pi/2\). Получившаяся векторная диаграмма показана ниже.

ii) Из теоремы Фалеса можно заключить, что точки \(F\), \(D\) и \(E\) на рисунке выше лежат на окружности, описанной вокруг отрезка \(AB\) как вокруг диаметра. Следовательно, напряжение \(V_{AB}\), которое мы хотим узнать, по модулю равно диаметру \(AB\) окружности, описанной около треугольника \(FDE\), длины сторон которого известны. Используя две формулы для площади треугольника: формулу Герона \(A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), где \(p=\tfrac12(a+b+c)\), и \(A=\dfrac{abc}{4R}\), где \(R\) — радиус описанной окружности, заключаем, что диаметр описанной окружности \[2R=\frac{abc}{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}.\] При \(a=7\) В, \(b=15\) В и \(c=20\) В получаем \(p=21\) В и \(V_{AB}=2R=25\) В.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.