Магнитный бильярд

При равных массах и центральном упругом ударе шары обмениваются скоростями. Центр масс системы в однородном поле \(B\) движется по окружности с циклотронным радиусом, а точка касания шаров совпадает с центром масс.

i) \(v_2=v\);  iii) \(v_{\text{ср}}=\dfrac{v}{\sqrt{4+R^2/r^2}\,(\pi-\operatorname{arctg}(2r/R))}\), \(R=\dfrac{mv}{qB}\), направление — под углом \(\pi-\alpha\) по часовой стрелке от начального направления, \(\alpha=\operatorname{arctg}(2r/R)\);  iv) \(2R=\dfrac{2mv}{qB}\).

i) После первого столкновения пусть скорости первого и второго шаров равны \(v_1\) и \(v_2\) соответственно. Закон сохранения энергии даёт \(\dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{mv_1^2}{2}+\dfrac{mv_2^2}{2}\), или \(v^2=v_1^2+v_2^2\). Закон сохранения импульса даёт \(mv=mv_1+mv_2\), или \(v=v_1+v_2\). Объединяя оба уравнения, получаем \(v^2=v_2^2+(v-v_2)^2=v^2-2vv_2+2v_2^2\) и \(v_2=0;\,v\). Поскольку первое решение соответствует случаю, когда столкновения не происходит, скорость второго шара должна быть \(v_2=v\).

ii) На шары действует сила Лоренца внешнего магнитного поля. Поскольку сила Лоренца перпендикулярна линии движения и постоянна по модулю, шары движутся по круговой орбите. Приравнивая силу Лоренца к центробежной, получаем \(\dfrac{mv^2}{R}=qvB\). Таким образом, \(R=\dfrac{mv}{qB}\) и \(\omega=\dfrac vR=\dfrac{qB}{m}\). Это значит, что один из зарядов движется по орбите по часовой стрелке, а другой — против.

После каждого столкновения один из шаров движется со скоростью \(v\), а другой покоится. Движущийся шар проходит часть полного циклотронного периода (по часовой стрелке или против, в зависимости от заряда), прежде чем центрально столкнуться с покоящимся шаром. Импульс передаётся первому шару, а ранее двигавшийся шар остаётся в покое, и движение начинается снова. При последующих столкновениях шары начинают дрейфовать в одном направлении, как видно на рисунке.

iii) Средняя скорость шаров равна средней скорости точек столкновения. Из рисунка видно, что направление средней скорости — \(\pi-\alpha\) по часовой стрелке от начального направления налетающего шара, где \(\alpha=\operatorname{arctg}\dfrac{2r}{R}\). Точка столкновения смещается на \(d=2r\cos\alpha\) между двумя последовательными столкновениями. Между двумя столкновениями один из шаров проходит \(2\pi-2\alpha\) по циклотронной орбите. Затраченное время тогда равно \(t=\dfrac{2\pi-2\alpha}{\omega}=\dfrac{2m}{qB}\left(\pi-\operatorname{arctg}\dfrac{2r}{R}\right)\), а средняя скорость \[v_{\text{ср}}=\frac dt=\frac{r\omega\cos\alpha}{\pi-\alpha}=\frac{vrR}{R\sqrt{4r^2+R^2}\,(\pi-\alpha)}=\frac{v}{\sqrt{4+\dfrac{R^2}{r^2}}\left(\pi-\operatorname{arctg}\dfrac{2r}{R}\right)}.\]

iv) Пусть скорости двух шаров в любой момент времени равны \(\vec v_1\) и \(\vec v_2\). Скорость центра масс тогда \(\vec v_{CM}=\dfrac{\vec v_1+\vec v_2}{2}\). Уравнение движения системы: \[q\vec v_1\times\vec B-\vec F+q\vec v_2\times\vec B+\vec F=m\dot{\vec v}_1+m\dot{\vec v}_2,\] где \(\vec F\) — сила взаимодействия между двумя шарами, либо упругие силы при столкновении, либо электростатические силы. Тогда \[q(\vec v_1+\vec v_2)\times\vec B=m\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\vec v_1+\vec v_2),\qquad q\vec v_{CM}\times\vec B=m\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\vec v_{CM}.\] Это значит, что центр масс системы совершает циклотронное движение с радиусом \(R=\dfrac{mv}{qB}\). Поскольку каждая точка столкновения может находиться только там, где находится центр масс, точки столкновения тоже должны лежать на той же окружности. Таким образом, максимальное расстояние между любыми двумя столкновениями равно \(2R=\dfrac{2mv}{qB}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.