Гравитационные гонки

Все три тела идут по одной траектории, поэтому сдвинуты друг от друга на треть периода; центр масс неподвижен и лежит в \(O\), а полный момент импульса и энергия сохраняются, что связывает скорости в \(O\) и в \(P\).

i) (а) \(T/3\); (б) \(T/12\);  ii) \(\vec v_1+\vec v_2+\vec v_3=0\);  iii) \(J=0\);  vi) \(v_O/v_P\approx 2{,}8\).

i) (а) Поскольку все три тела движутся по одной и той же траектории, в любой момент времени они отстоят друг от друга на \(T/3\). Поэтому от \(O_2\) до \(O\) тело идёт \(T/3\).

(б) По симметрии время движения от \(P\) до \(O\) равно \(T/4\). Кроме того, от \(P_2\) до \(P\) и от \(O\) до \(O_3\) тело идёт \(T/3\). Значит, от \(P_2\) до \(O_3\) оно идёт \(T/3+T/3+T/4=11T/12\), а от \(O_3\) до \(P_2\) — \(T-11T/12=T/12\).

ii) Внешних сил нет, поэтому центр масс системы трёх тел остаётся на месте и по симметрии находится в \(O\). Значит, \(\vec r_1+\vec r_2+\vec r_3=0\), где \(\vec r_1\), \(\vec r_2\), \(\vec r_3\) — радиус-векторы из \(O\). Дифференцируя, получаем \[\vec v_1+\vec v_2+\vec v_3=0. \tag{1}\]

iii) Полный момент импульса сохраняется. Поэтому его можно найти в наиболее удобный момент времени, например в конфигурации, когда одно из тел находится в \(O\). По симметрии \(\vec r_2=-\vec r_3\) и \(\vec v_2=\vec v_3\). Тогда полный момент импульса \[J=m\vec r_1\times\vec v_1+m\vec r_2\times\vec v_2+m\vec r_3\times\vec v_3=m(\vec r_2\times\vec v_2+\vec r_3\times\vec v_3)=m(\vec r_2\times\vec v_2-\vec r_2\times\vec v_2)=0.\]

iv) Из уравнения (1) и равенства \(\vec v_2=\vec v_3\) следует \(\vec v_1+2\vec v_2=0\). Значит, \(\vec v_2=-\tfrac12\vec v_1\). Заметим, что это возможно, только когда \(\vec v_1\), \(\vec v_2\) и \(\vec v_3\) параллельны. Поскольку скорости тел направлены по касательным к траектории в их положениях, касательные к траектории в точках \(O\), \(O_2\) и \(O_3\) должны иметь один и тот же наклон. Это даёт удобный способ построить положения \(O_2\) и \(O_3\) с помощью линейки, как показано на рисунке красным.

v) По симметрии \(r_{2,x}=r_{3,x}\) и \(r_{2,y}=-r_{3,y}\). Кроме того, \(r_{1,x}+r_{2,x}+r_{3,x}=0\), поэтому \(r_{2,x}=r_{3,x}=-\tfrac12 r_{1,x}\). Это даёт простой способ найти \(x\)-координаты точек \(P_2\) и \(P_3\) и построить их положения (на рисунке синим).

Применим закон сохранения момента импульса в точке \(P\). По симметрии векторы скоростей в \(P_2\) и \(P_3\) пересекаются на оси \(x\). Чтобы полный момент импульса был равен нулю, они должны пересекаться в \(P\). Следовательно, касательные в \(P_2\) и \(P_3\) проходят через \(P\). Тогда \(P_2\) и \(P_3\) можно построить так, как показано на рисунке зелёным.

vi) Общая идея: применить закон сохранения энергии в обеих конфигурациях и использовать радиус кривизны в \(P\), чтобы найти значение \(Gm\). По рисунку \(R_p=41{,}7\), \(r_0=145{,}2\), \(d=242\) и \(\alpha=11{,}6^\circ\) (единицы длины произвольны, значение имеют только отношения).

Полная энергия в \(O\): \[E=\frac{mv_{1,o}^2}{2}+\frac{mv_{2,o}^2}{2}+\frac{mv_{3,o}^2}{2}-\frac{Gm^2}{r_{12,o}}-\frac{Gm^2}{r_{23,o}}-\frac{Gm^2}{r_{31,o}}.\] Имеем \(v_{1,o}=2v_{2,o}=2v_{3,o}=v_o\) и \(r_{12,o}=r_{31,o}=\tfrac12 r_{23,o}=r_o\). Значит, \[E=\frac{3mv_o^2}{4}-\frac{5Gm^2}{2r_o}. \tag{2}\] Полная энергия в \(P\): \[E=\frac{mv_{1,p}^2}{2}+\frac{mv_{2,p}^2}{2}+\frac{mv_{3,p}^2}{2}-\frac{Gm^2}{r_{12,p}}-\frac{Gm^2}{r_{23,p}}-\frac{Gm^2}{r_{31,p}}.\] Кроме того, \(r_{12,p}=r_{31,p}=d\) и \(r_{23,p}=2d\sin\alpha\). Далее, применяя уравнение (1) на оси \(y\), получаем \(v_{1,p}-v_{2,p}\sin\alpha-v_{3,p}\sin\alpha=0\). Отсюда \(v_{1,p}=v_p=2v_{2,p}\sin\alpha=2v_{3,p}\sin\alpha\), так как \(v_{2,p}=v_{3,p}\). Полная энергия в \(P\) тогда равна \[E=\frac{mv_p^2}{2}\left(1+\frac{1}{2\sin^2\alpha}\right)-\frac{Gm^2}{d}\left(2+\frac{1}{2\sin\alpha}\right)=6{,}68\,mv_p^2-4{,}49\,\frac{Gm^2}{d}. \tag{3}\] Когда тело находится в \(P\), гравитационная сила равна центростремительной. Это значит, что \[\frac{mv_p^2}{R_p}=2\frac{Gm^2}{d^2}\cos\alpha=1{,}96\,\frac{Gm^2}{d^2},\qquad Gm=0{,}510\,\frac{v_p^2d^2}{R_p}. \tag{4}\] Объединяя уравнения (2), (3) и (4), получаем \[\frac{3v_o^2}{4}=6{,}68\,v_p^2+0{,}510\,\frac{v_p^2d^2}{R_p}\left(\frac{5}{2r_o}-\frac{4{,}49}{d}\right),\] и, преобразуя, \[\frac{v_o}{v_p}=\sqrt{\frac43\left(6{,}68+0{,}510\,\frac{d^2}{R_p}\left(\frac{5}{2r_0}-\frac{4{,}49}{d}\right)\right)}=2{,}8.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.