Радар для измерения скорости

Эффект Доплера применяется дважды: автомобиль сначала принимает волну как движущийся наблюдатель, затем излучает её как движущийся источник. Произведение косинусов раскладывается на сумму и разность частот.

i) \(f_1=f_0(1+v/c)^2\approx f_0(1+2v/c)\);  ii) \(f_1+f_0\) и \(f_1-f_0\);  iii) \(v=30\) м/с.

i) Формулу Доплера нужно применить дважды. Сначала наблюдатель в приближающемся автомобиле видит и падающую, и отражённую волну с частотой \(f'=f_0(1+v/c)\). Затем наблюдатель у радара видит отражённую волну, доплеровски смещённую до \(f_1=f''=f'(1+v/c)=f_0(1+v/c)^2\). Наконец, упрощаем: \[f_1=f_0(1+v/c)^2\approx f_0(1+2v/c).\]

ii) Используя тождество из условия, можно выразить произведение двух волн просто как сумму волн: \[\cos(2\pi f_1t)\cos(2\pi f_0t)=\tfrac12\cos[2\pi(f_1+f_0)t]+\tfrac12\cos[2\pi(f_1-f_0)t],\] откуда легко видны две частотные компоненты: \(f_{\text{выс}}=f_1+f_0\) и \(f_{\text{низк}}=f_1-f_0\).

iii) Можно выразить \(f_{\text{низк}}=f_1-f_0=2f_0v/c\) и вычислить скорость автомобиля: \[v=\frac{f_{\text{низк}}}{2f_0}\,c=30\text{ м/с}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.