Конденсатор

Силу, действующую на обкладку, можно найти по изменению энергии конденсатора при малом смещении обкладки. В третьей части выдвиньте воду из небольшого участка между обкладками и сравните работу против разности давлений с приращением энергии.

1) \(w=\dfrac12\varepsilon_0E^2\), \(W=\dfrac12\varepsilon_0AdE^2\);  2) \(F=\dfrac12\varepsilon_0AE^2\);  3) \(p=p_0+\dfrac12\varepsilon_0E^2(\varepsilon-1)\).

i) Энергия равна \(W=CU^2/2=\dfrac12\varepsilon_0\dfrac Ad E^2d^2=\dfrac12\varepsilon_0AdE^2\); следовательно, плотность энергии \(w=W/(Ad)=\dfrac12\varepsilon_0E^2\).

ii) Есть два способа вычислить силу. Во-первых, заметим, что на самые внутренние заряды \(q\) на обкладках конденсатора действует электрическое поле \(E\), поэтому на них действует сила \(qE\). Самые внешние заряды, однако, не окружены электрическим полем (поскольку вне пространства между обкладками поля нет). В силу закона Гаусса электрическое поле убывает линейно с чистым зарядом, оставшимся ниже уровня данной точки (то есть в сторону пространства между обкладками). Поэтому электрическое поле, усреднённое по зарядам, составляет просто половину максимального значения \(E\): \(\langle E\rangle=\frac12E\), и результирующая сила, действующая на обкладку, равна \(F=Q\langle E\rangle=CEd\,\langle E\rangle=\dfrac12\varepsilon_0AE^2\).

Второй способ — записать баланс энергии для малого смещения обкладки: \(F\cdot\delta d=\delta\!\left(Q^2/2C\right)=\dfrac{Q^2}{2\varepsilon_0A}\delta d=\dfrac12C^2E^2d\cdot\delta d\ \Rightarrow\ F=\dfrac12\varepsilon_0AE^2\).

iii) Вытолкнем часть воды из пространства между обкладками так, чтобы образовался небольшой участок площади \(dA\) обкладок, где между ними воды нет (здесь \(\Delta p\) — разность давлений между пространством между обкладками и наружными областями). При этом мы совершаем работу \(d\cdot\delta A\cdot\Delta p\) и увеличиваем энергию конденсатора: \[\delta W=\delta\!\left(Q^2/2C\right)=\frac{Q^2d}{2\varepsilon_0}\left[\frac1{\varepsilon(A-\delta A)+\delta A}-\frac1{\varepsilon A}\right].\]

Итак, \[\delta W=\frac{Q^2d(\varepsilon-1)\cdot\delta A}{2\varepsilon_0\varepsilon^2A^2}=\frac12\varepsilon_0E^2d(\varepsilon-1)\cdot\delta A;\] сравнивая это с работой давления \(d\cdot\delta A\cdot\Delta p\), заключаем, что \[\Delta p=\frac12\varepsilon_0E^2(\varepsilon-1)\ \Rightarrow\ p=p_0+\frac12\varepsilon_0E^2(\varepsilon-1).\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.