Скрипичная струна

Пока пластина скользит, на брусок действует постоянная сила трения и он гармонически колеблется около сдвинутого положения равновесия; пока не скользит — движется вместе с пластиной. Стыковка этих участков происходит в точках, где скорости совпадают.

1) \(v_{\max}=\dfrac{(\mu_1-\mu_2)N}{k}\sqrt{\dfrac km}\);  2) прямые участки длительностью \(T_1=\dfrac{2(\mu_1-\mu_2)N}{ku}\) чередуются с полупериодами синусоиды \(T_2=\pi\sqrt{m/k}\);  3) синусоидальные участки чередуются с горизонтальными;  4) \(A=\dfrac1k\sqrt{(\mu_1-\mu_2)^2N^2+u^2mk}\);  5) \(u\gg(\mu_1-\mu_2)N/\sqrt{mk}\).

i) Когда пластина скользит, на брусок действует постоянная сила трения \(\mu_2N\), что означает, что равновесная деформация пружины равна \(x_0=\mu_2N/k\); результирующая сила, действующая на брусок (со стороны пружины и трения), равна \(F=-k\xi\), где мы определили \(\xi=x-x_0\). Следовательно, при скольжении брусок гармонически колеблется около точки \(\xi=0\). Проскальзывание начинается, когда трение покоя не сможет удерживать равновесие, то есть при \(kx=\mu_1N\), чему соответствует \(\xi_0=(\mu_1-\mu_2)N/k\).

Если пластина движется медленно, брусок освобождается практически без кинетической энергии, и закон сохранения энергии даёт \[\tfrac12k\xi_0^2=\tfrac12mv_{\max}^2\ \Rightarrow\ v_{\max}=\xi_0\sqrt{k/m}.\]

ii) Как уже сказано, когда пластина скользит, движение бруска гармоническое, то есть график \(x(t)\) — отрезок синусоиды; когда скольжения нет, брусок движется вместе с пластиной, то есть график \(x(t)\) — прямая линия. В момент, когда проскальзывание начинается или прекращается, колебательная скорость равна скорости пластины, то есть прямая касается синусоиды. Длину прямого отрезка можно вычислить как \[T_1=2\xi_0/u=2(\mu_1-\mu_2)N/(ku);\] синусоидальный участок соответствует половине периода и потому имеет длину \(T_2=\pi\sqrt{m/k}\).

iii) Скорость \(v(t)=\dfrac{dx}{dt}\) — производная от \(x(t)\); поэтому синусоидальному участку \(x(t)\) будет соответствовать синусоидальный участок \(v(t)\), а прямому участку \(x(t)\) — горизонтальный участок \(v(t)\). Получающийся график изображён ниже.

iv) Пусть амплитуда колебаний равна \(A\), то есть синусоидальные участки следуют закону \(\xi(t)=A\cos(\omega t)\), где \(\omega=\sqrt{k/m}\). Соответственно, \(v(t)=A\omega\sin(\omega t)\ \Rightarrow\ A\sin(\omega t)=v(t)/\omega\); следовательно, для любой точки синусоидального участка \(\xi^2+v^2/\omega^2=A^2\). В точке, где синусоида и прямая линия смыкаются, у прямой и синусоиды равны значения \(\xi=\xi_0=(\mu_1-\mu_2)N/k\) и \(v=u\). Следовательно, \[(\mu_1-\mu_2)^2N^2/k^2+u^2/\omega^2=A^2\ \Rightarrow\ A=\frac1k\sqrt{(\mu_1-\mu_2)^2N^2+u^2mk}.\]

v) Колебания будут почти гармоническими, когда прямые участки очень коротки, то есть при \(u/\omega\gg(\mu_1-\mu_2)N/k\ \Rightarrow\ u\gg(\mu_1-\mu_2)N/\sqrt{mk}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.