Заряженный цилиндр

Вращающийся поверхностный заряд — это поверхностный ток, текущий по цилиндру, как в соленоиде; поле внутри находится по теореме о циркуляции. ЭДС в проводе — это скорость изменения потока через площадь, «заметаемую» проводом.

1) \(B=\mu_0\sigma\omega r\);  2) \(\mathcal E=\dfrac12\mu_0\sigma\omega^2r^3\);  3) скорость заметания площади \(\dot S=r^2\omega/2\) не зависит от формы провода.

i) Движущийся поверхностный заряд создаёт соленоидальный поверхностный ток с поверхностной плотностью \(j=\sigma v=\sigma\omega r\). Из теоремы о циркуляции для прямоугольного контура, охватывающего отрезок поверхностного тока, получаем \(\dfrac{Bl}{\mu_0}=jl\), где \(l\) — длина отрезка поверхностного тока (так что \(jl\) даёт ток, текущий через контур). Следовательно, \(B=\mu_0j=\mu_0\sigma\omega r\).

ii) По формуле \(\mathcal E=\dfrac{d\Phi}{dt}=B\dfrac{dS}{dt}\), где \(S\) — площадь, заметаемая проводом, получаем \(\mathcal E=B\omega r^2/2\). Действительно, за малый промежуток времени \(dt\) провод заметает равнобедренный треугольник со сторонами \(r\), \(r\) и \(r\omega\,dt\); его площадь, очевидно, равна \(r^2\omega\,dt/2\). Используя ранее полученное выражение для \(B\), приходим к \[\mathcal E=\mu_0\sigma\omega^2r^3/2.\]

iii) Нужно показать, что в предыдущей части \(\dfrac{dS}{dt}\) не зависит от формы провода. Сначала заметим, что в силу вращательной симметрии \(\dfrac{dS}{dt}\) не может зависеть от угла поворота, то есть \(\dfrac{dS}{dt}\equiv\dot S=\text{const}\). Далее, независимо от формы провода, за весь период вращения \(2\pi/\omega\) заметается весь круг; \(\dot S\cdot2\pi/\omega=\pi r^2\ \Rightarrow\ \dot S=r^2\omega/2\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.