Сила трения по графику v(x)

Работа, совершённая силой трения к моменту попадания тела в точку с координатой \(x\), по модулю равна \[A(x) = \dfrac{mv_0^2}{2} - \dfrac{mv^2(x)}{2} = \dfrac{m}{2}\left(v_0^2 - \left(v_0\left(1 - \dfrac{x}{l}\right)\right)^2\right) = \dfrac{mv_0^2}{2}\left(\dfrac{2x}{l} - \left(\dfrac{x}{l}\right)^2\right).\] Следовательно, на участке от \(x\) до \(x + \Delta x\) совершается работа \[A(x + \Delta x) - A(x) = \dfrac{mv_0^2}{2}\left(\dfrac{2(x + \Delta x)}{l} - \left(\dfrac{x + \Delta x}{l}\right)^2 - \dfrac{2x}{l} + \left(\dfrac{x}{l}\right)^2\right) =\] \[= \dfrac{mv_0^2}{2}\left(\dfrac{2\cdot\Delta x}{l} - \dfrac{2x\cdot\Delta x}{l^2} - \left(\dfrac{\Delta x}{l}\right)^2\right).\] При малых \(\Delta x\) последним слагаемым можно пренебречь. Поскольку \(A(x + \Delta x) - A(x) = F_{\text{тр}}\cdot\Delta x\), то для силы трения, действующей на тело в точке \(x\), получаем: \[F_{\text{тр}} = \dfrac{mv_0^2}{2}\left(\dfrac{2}{l} - \dfrac{2x}{l^2}\right) = \dfrac{mv_0^2}{l}\left(1 - \dfrac{x}{l}\right),\] то есть сила трения линейно зависит от координаты \(x\).

Задачу можно решать и другим, более формальным способом. Действительно, искомая величина силы трения, в соответствии со вторым законом Ньютона, равна \(F_{\text{тр}} = |ma|\). По определению ускорения: \[F_{\text{тр}} = |ma| = m\left|\dfrac{\Delta v}{\Delta t}\right| = m\left|\dfrac{\Delta v}{\Delta x}\right|\cdot\left|\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\right|.\] Но \(\left|\dfrac{\Delta v}{\Delta x}\right| = \dfrac{v_0}{l}\), а \(\left|\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\right| = |v(x)| = v_0\left(1 - \dfrac{x}{l}\right)\). Отсюда для величины силы трения получаем прежний ответ.