Циклическое переключение ключа

Эквивалентные схемы для положений ключа 1 и 2 изображены на рисунке.

Будем обозначать заряды конденсаторов и напряжения на них через \(q_{ij}\) и \(U_{ij}\), причём первый индекс \(i\) будет обозначать номер конденсатора, а второй индекс \(j\) — номер положения ключа.

Из эквивалентных схем следует, что в положении 1 конденсатор \(C_1\) всякий раз заряжается до напряжения \(U_{11} = \mathcal{E}\), приобретая заряд \(q_{11} = C\mathcal{E}\). Кроме того, в положении 2 заряд, находящийся на проводнике между конденсаторами \(C_1\) и \(C_2\), сохраняется. Рассмотрим последовательно несколько циклов переключений 1–2.

Первый цикл: в положении ключа 1 конденсатор \(C_2\) не заряжен, \(q_{21} = 0\), \(U_{21} = 0\). После переключения ключа в положение 2 происходит перезарядка конденсаторов \(C_1\) и \(C_2\) до таких напряжений \(U_{12}\) и \(U_{22}\), что \(U_{22} - U_{12} = \mathcal{E}\), где положительными считаются такие величины \(U_{12}\), которые совпадают по полярности с \(U_{11}\), и такие \(U_{22}\), полярность которых совпадает с той, что показана на рисунке в положении 2. Заряды при этом связаны следующими соотношениями: \[q_{12} = CU_{12},\quad q_{22} = CU_{22},\quad q_{22} - q_{12} = C\mathcal{E},\quad q_{12} + q_{22} = q_{11} + q_{21}\] (последнее соотношение следует из сохранения в процессе перезарядки заряда, находящегося на проводнике между конденсаторами \(C_1\) и \(C_2\)). Из этой системы уравнений получаем: \[q_{22} = \dfrac{q_{11} + q_{21} + C\mathcal{E}}{2} = \dfrac{C\mathcal{E} + C\mathcal{E} + q_{21}}{2} = C\mathcal{E} + \dfrac{q_{21}}{2} = C\mathcal{E}\] для первого цикла, так как заряд \(q_{21}\) был равен нулю. Значение \(q_{22}\) после первого цикла равно \(q_{21}\) для второго цикла, и так далее. Поэтому

после второго цикла \[q_{22} = C\mathcal{E} + \dfrac{C\mathcal{E}}{2} = \dfrac{3}{2}C\mathcal{E},\] после третьего \[q_{22} = C\mathcal{E} + \dfrac{3}{4}C\mathcal{E} = \dfrac{7}{4}C\mathcal{E},\] после четвёртого \[q_{22} = C\mathcal{E} + \dfrac{7}{8}C\mathcal{E} = \dfrac{15}{8}C\mathcal{E},\] и так далее.

Таким образом, после каждого цикла номера \(n\) заряд \(q_{22}\) возрастает на \(\Delta q_{22} = \dfrac{C\mathcal{E}}{2^{n-1}}\), стремясь, очевидно, к установившемуся значению \(2C\mathcal{E}\). При этом после \(n\)-го цикла \(q_{22}\) отличается от \(2C\mathcal{E}\) на величину \(\Delta q_{22} = \dfrac{C\mathcal{E}}{2^{n-1}}\). По условию это отличие должно быть меньше или равно \(0{,}1\%\): \[\dfrac{\Delta q_{22}}{2C\mathcal{E}} = \dfrac{C\mathcal{E}}{2\cdot 2^{n-1}C\mathcal{E}} = \dfrac{1}{2^n} \leqslant 0{,}001,\] откуда \(2^n \geqslant 1000\). Этому неравенству удовлетворяют \(n \geqslant 10\), когда \(2^n \geqslant 2^{10} = 1024\).

Следовательно, для того, чтобы заряд на конденсаторе \(C_2\) отличался от своего установившегося значения не более, чем на \(0{,}1\%\), нужно произвести не менее \(n = 10\) циклов переключений.