Жидкость в U-образной трубке с пружиной

При малых колебаниях в отсутствие трения сумма кинетической и потенциальной энергий постоянна: \(W + U = \text{const}\). Для рассматриваемой системы \(W = Mv^2/2 = M\dot x^2/2\), где \(\dot x\) — скорость столба жидкости.

Будем отсчитывать смещение столба жидкости \(x\) от равновесного положения поршня. В этом положении сила сжатия пружины \(kx_0\) (\(x_0\) — положение поршня при несжатой пружине) уравновешивается силой гидростатического давления \(\rho ghS\) за счёт превышения уровня жидкости в наклонном колене на высоту \(h\) над её уровнем в вертикальном колене. Тогда \[U = \dfrac{k(x_0 - x)^2}{2} + \rho gSx\left(h + \dfrac{x}{2}(1 + \sin\alpha)\right),\] так как при смещении жидкости на малое расстояние \(x\) от положения равновесия центр масс её элемента массой \(\rho Sx\) поднимается на высоту \(\dfrac{x}{2} + h + \dfrac{x}{2}\sin\alpha\) (см. рисунок). Таким образом, \[\dfrac{M(\dot x)^2}{2} + \dfrac{k(x_0 - x)^2}{2} + \rho gS(1 + \sin\alpha)\dfrac{x^2}{2} + \rho gShx = \text{const}.\] Дифференцируя это соотношение по времени и обозначая ускорение столба жидкости через \(\ddot x \equiv d\dot x/dt\), имеем: \[M\dot x\ddot x + (k + \rho gS(1 + \sin\alpha))\dot xx + \rho gSh\dot x - k\dot xx_0 = 0.\] Поскольку, как уже отмечалось, \(kx_0 = \rho gSh\), получаем отсюда уравнение движения столба жидкости: \[\ddot x + \dfrac{k + \rho gS(1 + \sin\alpha)}{M}x = 0,\] которое представляет собой уравнение гармонических колебаний. Следовательно, период малых колебаний рассматриваемой системы равен \[T = 2\pi\sqrt{\dfrac{M}{k + \rho gS(1 + \sin\alpha)}}.\]