Котлован

Человек, находящийся в точке \(A\) (левый рисунок), оценивает глубину водоёма по двум близким лучам, идущим из точек \(B\) и \(C\). Ему кажется, что лучи исходят не из точки \(S\), а из точки \(S_1\), и поэтому видимая глубина водоёма \(h_1\). Изменения направлений лучей на поверхности воды подчиняются закону Снеллиуса: \[\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = n, \qquad \frac{\sin\alpha'}{\sin\beta'} = n \tag{239}\] где \(n\) — показатель преломления воды, а углы \(\alpha\), \(\beta\), \(\alpha'\) и \(\beta'\) показаны на левом рисунке. Пусть \(\Delta\) — длина отрезка \(BC\). Тогда из прямоугольных треугольников, показанных на левом рисунке, следует, что \[\Delta = h(\operatorname{tg}\beta - \operatorname{tg}\beta') = h_1(\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha'). \tag{240}\] Углы \(\alpha\) и \(\alpha'\), \(\beta\) и \(\beta'\) мало отличаются, поэтому, если \(\alpha - \alpha' = \Delta\alpha\) и \(\beta - \beta' = \Delta\beta\), то \[\operatorname{tg}\beta - \operatorname{tg}\beta' \approx \frac{\Delta\beta}{\cos^2\beta}, \qquad \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha' \approx \frac{\Delta\alpha}{\cos^2\alpha}.\] Подставляя полученные соотношения в формулу (240), находим \[h_1 = h\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\beta}\cdot\frac{\Delta\beta}{\Delta\alpha}.\] Запишем закон Снеллиуса (239) для маленьких приращений углов: \[\cos\alpha\,\Delta\alpha = n\cos\beta\,\Delta\beta,\] откуда \[h_1 = \frac hn\cdot\frac{\cos^3\alpha}{\cos^3\beta} = \frac hn\cdot\frac{\cos^3\alpha}{\left(1 - \dfrac{\sin^2\alpha}{n^2}\right)^{3/2}}. \tag{241}\] Для угла \(\alpha\) из левого рисунка находим \[\sin\alpha = \frac{x - OB}{\sqrt{(x - OB)^2 + H^2}} \approx \frac{x}{\sqrt{x^2 + H^2}},\] так как \(OB \ll x\) при малых \(h\). Осталось подставить полученное выражение для \(\sin\alpha\) в формулу (241) и произвести алгебраические преобразования: \[h_1 = \frac{n^2hH^3}{\left((n^2 - 1)x^2 + n^2H^2\right)^{3/2}}.\] График этой зависимости, построенный с помощью MathCAD, представлен на правом рисунке. Видно, что вдали от обрыва водоём кажется более мелким.