Катушка

Пусть \(T\) — сила натяжения нити в верхней точке её вертикальной части (см. рисунок), \(\varepsilon\) — угловое ускорение катушки, \(m = \rho x\) — масса свисающей части нити, \(I_x = \rho(L - x)R^2\) — момент инерции нити, намотанной на катушку, тогда второй закон Ньютона для свисающей части нити, уравнение вращательного движения катушки с намотанной на неё нитью и кинематическая связь имеют соответственно вид

\[ma = mg - T, \qquad (I + I_x)\varepsilon = TR, \qquad a = \varepsilon R.\] Решая записанную систему, получаем \[a = \frac{gR^2\rho x}{I + R^2\rho L}. \tag{34}\] Пусть \(\omega = v/R\) — угловая скорость вращения катушки, тогда из закона сохранения энергии катушки и нити \[mg\cdot\frac x2 = \frac12(I + I_x)\omega^2 + \frac12 mv^2\] находим \[v = Rx\sqrt{\frac{g\rho}{I + R^2\rho L}}.\] Таким образом, и ускорение \(a\), и скорость \(v\) пропорциональны \(x\).

Примечание. Пропорциональность \(a\) и \(x\) на первый взгляд может показаться ошибочной, так как ускорение в любом случае не может превысить \(g\). Однако поскольку длина свисающей части нити \(x \leqslant L\), даже при \(x = L\) из формулы (34) получаем \(a < g\), то есть противоречия нет.

С учётом последнего предложения из текста условия рассмотрение отрыва нити от катушки выходит за рамки данной задачи, поэтому мы предлагаем читателям исследовать это любопытное явление самостоятельно.