Пружина

Для нахождения плотности газа применим уравнение состояния идеального газа \(pV = m_{\text{г}}RT/M\) (уравнение Менделеева–Клапейрона). Из него следует, что \[\rho = \frac{m_{\text{г}}}{V} = \frac{Mp}{RT}, \tag{160}\] где \(M\) — молярная масса газа, \(m_{\text{г}}\) — масса газа в объёме \(V\), \(R\) — универсальная газовая постоянная. Зависимость плотности газа от координаты \(x\) обусловлена распределением температуры газа (см. рисунок). Учитывая, что температура между плоскостями изменяется линейно с изменением \(x\), получим

\[T = T(x) = \frac{T_1 - T_2}{H}x + T_2,\] и тогда из уравнения (160) следует, что \[\rho(x) = \frac{MpH}{R\left((T_1 - T_2)x + HT_2\right)}. \tag{161}\] В положении равновесия сумма всех сил, приложенных к шарику, равна нулю (см. рисунок): \[m\vec g + \vec F + \vec F_a = 0,\] где \(M\vec g\) — сила тяжести, \(\vec F\) — сила упругости, \(\vec F_a\) — сила Архимеда. Условие равновесия имеет вид \[-mg + k(L - L_0) + \rho g\frac{m}{\rho_0} = 0.\] Поскольку \(L = L_0\), получим \(\rho = \rho_0\). После подстановки этого равенства, а также \(x = H - L_0\) в формулу (161) найдём \[p = \frac{\rho_0R}{M}\left(\frac{T_1 - T_2}{H}(H - L_0) + T_2\right).\] Для нахождения частоты малых колебаний запишем динамическое уравнение движения шарика вблизи положения равновесия: \[m\ddot x = -k\xi + mg\frac{\rho(x) - \rho_0}{\rho_0}, \tag{162}\] где \(\xi = x - (H - L_0)\) — малое отклонение шарика от положения равновесия, а соответствующее приращение плотности, найденное из формулы (161), равно \[\rho(x) - \rho_0 = \frac{-MpH\xi(T_1 - T_2)}{R\left((T_1 - T_2)(H - L_0) + HT_2\right)^2}.\] После подстановки этих выражений динамическое уравнение принимает вид \[m\ddot\xi = -\left(k + \frac{mg\xi(T_1 - T_2)}{(T_1 - T_2)(H - L_0) + HT_2}\right)\xi.\] Отсюда находим искомую циклическую частоту малых колебаний: \[\omega = \sqrt{\frac1m\left(k + \frac{mg\xi(T_1 - T_2)}{(T_1 - T_2)(H - L_0) + HT_2}\right)}.\]