Камень

Для описания движения камня выберем декартову систему координат так, как показано на рисунке.

К камню приложены сила тяжести \(m\vec g\) и сила сопротивления \(\vec F\), направленная навстречу скорости \(\vec v\). Запишем уравнения второго закона Ньютона в проекциях на координатные оси: \[m\frac{dv_x}{dt} = -kv_x, \tag{28}\] \[m\frac{dv_y}{dt} = -kv_y - mg. \tag{29}\] Перепишем эти уравнения иначе, учтя, что \(v_x\,dt = dx\), \(v_y\,dt = dy\): \[m\,dv_x = -k\,dx, \tag{30}\] \[m\,dv_y = -k\,dy - mg\,dt. \tag{31}\] Для установившегося движения \(v = u = \text{const}\), где \(\vec u\) — установившаяся скорость камня, поэтому из формул (28) и (29) следует, что \(u_x = 0\), а \[u_y = -mg/k, \tag{32}\] то есть установившаяся скорость \(\vec u\) направлена так, как показано на рисунке. Для нахождения \(L\) проинтегрируем уравнение (30) для всего движения камня: \[mv_x\Big|_{v_0}^{0} = -kx\Big|_0^{L},\] откуда \[L = \frac{mv_0}{k}.\] Для нахождения времени \(\tau\) проинтегрируем уравнение (31) с учётом (32): \[mv_y\Big|_0^{u_y} = -ky\Big|_H^{0} - mg\tau, \qquad\text{или}\qquad \tau = \frac{kH}{mg} + \frac mk. \tag{33}\] При каких \(H\) возможна описанная в задаче ситуация? Оценим время, в течение которого скорость достигает установившегося значения. Для этого в формуле (28) положим \[m\frac{\Delta v_x}{\Delta t} \sim -kv_0.\] Отсюда \(\Delta t \sim m/k\). За это время камень опустится вниз на расстояние \[H_1 \sim \frac{g\Delta t^2}{2}.\] Ясно, что должно выполняться условие \(H \gtrsim H_1\), так что описанная в задаче ситуация, для которой получен ответ (33), будет иметь место при \[H \gtrsim \frac g2\left(\frac mk\right)^2.\]