На планете R19

Выразите изменение давления через плотность газа \(\rho = \dfrac{p\mu}{RT}\) и сравните относительные изменения давления и температуры на начальном линейном участке.

На участке от \(0\) до \(2\) км зависимость температуры от высоты линейная: \(T = T_0 - \alpha h\), где \(\alpha = \left|\dfrac{\Delta T}{\Delta h}\right| = 33{,}3\) К/км.

При малом изменении высоты \(\Delta h\) давление меняется на \(\Delta p = -\rho g\,\Delta h\), где \(\rho = \dfrac{p\mu}{RT}\). Тогда \[\frac{\Delta p}{p} = -\frac{\mu g}{RT}\,\Delta h = \frac{\mu g}{R\alpha}\cdot\frac{\Delta T}{T} = k\,\frac{\Delta T}{T}, \qquad k = \frac{\mu g}{R\alpha} \approx 1.\] Значит, давление также линейно убывает с высотой, и \(\dfrac{\Delta p}{\Delta h} = -\rho g = \text{const}\). Следовательно, плотность атмосферы постоянна от \(0\) до \(2\) км: \[\rho_0 = \frac{p_0\mu}{RT_0} = 5{,}85~\text{кг/м}^3 \qquad (T_0 = 288~\text{К}).\] Давление на высоте \(1\) км: \[p_1 = p_0 - \rho_0 g h_1 \approx 442~\text{кПа}.\]