Бусинка на кольце

Сила реакции кольца имеет вертикальную составляющую \(mg\) и горизонтальную составляющую \(m\upsilon_0^2/R\), направленную к центру кольца. Тангенциальное ускорение равно \(F_{\text{тр}}/m\).

1) Сила реакции кольца \(\vec N = \vec N_1 + \vec N_2\), где \(|\vec N_1| = mg\) — её вертикальная составляющая, \(|\vec N_2| = \dfrac{m\upsilon_0^2}{R}\) — горизонтальная (центростремительная) в начальный момент. Сила трения \(F_{\text{тр}} = \mu N\), где \(N = \sqrt{N_1^2 + N_2^2}\). Отсюда \(F_{\text{тр}} = \mu m\sqrt{g^2 + \left(\dfrac{\upsilon_0^2}{R}\right)^2}\).

2) Полное ускорение \(\vec a = \vec a_n + \vec a_\tau\), где \(a_n = \dfrac{\upsilon_0^2}{R}\), \(a_\tau = \dfrac{F_{\text{тр}}}{m} = \mu\sqrt{g^2 + \left(\dfrac{\upsilon_0^2}{R}\right)^2}\). Тогда \[a = \sqrt{a_n^2 + a_\tau^2} = \sqrt{(\mu g)^2 + (1+\mu^2)\left(\frac{\upsilon_0^2}{R}\right)^2}.\]

3) С требуемой точностью используем приближённые формулы \(\Delta S = \upsilon_0\,\Delta t\) и \(\Delta\upsilon = a_\tau\,\Delta t\), где \(\Delta t\) — время, за которое скорость уменьшилась на \(1\%\). Тогда \(\Delta S = \dfrac{\upsilon_0\,\Delta\upsilon}{a_\tau} = \dfrac{\upsilon_0^2 \cdot 10^{-2}}{a_\tau}\), то есть \[\Delta S = \frac{\upsilon_0^2 \cdot 10^{-2}}{\mu\sqrt{g^2 + \left(\upsilon_0^2/R\right)^2}}.\]