Воднолыжник

Проекции скоростей лыжника и катера на направление троса одинаковы, так как длина троса постоянна. Относительно катера лыжник движется по окружности радиуса \(L\).

Разложим скорость спортсмена относительно берега на перпендикулярную берегу составляющую \(u\) и продольную \(u'\). Так как расстояние от спортсмена до точки крепления троса на катере не меняется, проекции скоростей спортсмена и катера на линию троса равны. Если спортсмен между правым берегом и катером, то \(\upsilon\cos\alpha_0 = u'\cos\alpha_0 + u\sin\alpha_0\), откуда \(u' = \upsilon - u\,\mathrm{tg}\,\alpha_0\). Если спортсмен между катером и левым берегом, то \(\upsilon\cos\alpha_0 = u'\cos\alpha_0 - u\sin\alpha_0\), откуда \(u' = \upsilon + u\,\mathrm{tg}\,\alpha_0\). Тогда \[u_0 = \sqrt{u^2 + u'^2} = \sqrt{u^2 + \left(\upsilon \pm u\,\mathrm{tg}\,\alpha_0\right)^2}.\] Относительно катера лыжник движется по окружности радиуса \(L\), поэтому \(T = \dfrac{m u_{\text{отн}}^2}{L}\), где \[u_{\text{отн}}^2 = u^2 + (u' - \upsilon)^2 = u^2\left(1 + \mathrm{tg}^2\alpha_0\right) = \frac{u^2}{\cos^2\alpha_0}.\] Окончательно \(T = \dfrac{m u^2}{L\cos^2\alpha_0}\).