ВсОШ, 2018/19, региональный этап, 10 класс, теоретический тур

Подсказка

Проекции скоростей лыжника и катера на направление троса одинаковы, так как длина троса постоянна. Относительно катера лыжник движется по окружности радиуса \(L\).

Ответ

1) \(u_0 = \sqrt{u^2 + \left(\upsilon \pm u\,\mathrm{tg}\,\alpha_0\right)^2}\), знак «\(+\)» — когда лыжник между катером и левым берегом, знак «\(-\)» — когда между правым берегом и катером;  2) \(T = \dfrac{m u^2}{L\cos^2\alpha_0}\).

Решение

Разложим скорость спортсмена относительно берега на перпендикулярную берегу составляющую \(u\) и продольную \(u'\). Так как расстояние от спортсмена до точки крепления троса на катере не меняется, проекции скоростей спортсмена и катера на линию троса равны. Если спортсмен между правым берегом и катером, то \(\upsilon\cos\alpha_0 = u'\cos\alpha_0 + u\sin\alpha_0\), откуда \(u' = \upsilon - u\,\mathrm{tg}\,\alpha_0\). Если спортсмен между катером и левым берегом, то \(\upsilon\cos\alpha_0 = u'\cos\alpha_0 - u\sin\alpha_0\), откуда \(u' = \upsilon + u\,\mathrm{tg}\,\alpha_0\). Тогда \[u_0 = \sqrt{u^2 + u'^2} = \sqrt{u^2 + \left(\upsilon \pm u\,\mathrm{tg}\,\alpha_0\right)^2}.\] Относительно катера лыжник движется по окружности радиуса \(L\), поэтому \(T = \dfrac{m u_{\text{отн}}^2}{L}\), где \[u_{\text{отн}}^2 = u^2 + (u' - \upsilon)^2 = u^2\left(1 + \mathrm{tg}^2\alpha_0\right) = \frac{u^2}{\cos^2\alpha_0}.\] Окончательно \(T = \dfrac{m u^2}{L\cos^2\alpha_0}\).

Подсказка

Изменение импульса шайбы за удар складывается из импульса силы реакции (вдоль нормали) и импульса силы трения. Если проскальзывание прекратилось до конца удара, то коэффициент трения может быть любым.

Ответ

\(\mu_{\min} = \mathrm{tg}\,15^\circ = 2 - \sqrt{3} \approx 0{,}27\);  \(\mu_{\max}\) не ограничен: при \(\mu > 0{,}27\) проскальзывание прекращается до конца удара, и любое большое \(\mu\) подходит.

Решение

Изменение импульса шайбы \(\Delta\vec p = \vec p_2 - \vec p_1\) образует с вертикалью угол \(\alpha = 90^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 15^\circ\).

Если после удара проекция скорости шайбы на ось \(OX\) меньше проекции скорости плиты на ту же ось, то шайба всё время удара скользила по плите, и \(F_{\text{тр}} = \mu N\). Тогда \[\mu = \frac{F_{\text{тр}}}{N} = \frac{\Delta p_x}{\Delta p_y} = \mathrm{tg}\,\alpha = \mathrm{tg}\,15^\circ = 2 - \sqrt{3} \approx 0{,}27.\] Если же после удара проекция скорости шайбы на ось \(OX\) сравнялась с проекцией скорости плиты, то проскальзывание прекратилось, и коэффициент трения может быть любым большим \(0{,}27\).

Подсказка

Относительно точек \(B\) и \(C\) остальная часть цепи (без \(R_x\) и \(R_y\)) образует сбалансированный мост, поэтому \(R_z\) не влияет на показания; сопротивление участка \(BC\) при этом не зависит от \(R_z\).

Ответ

1) \(R_x = 3\) кОм, \(R_y = 2\) кОм; \(R_z\) может быть любым (показания вольтметра от него не зависят);  2) \(I_{AB} = 7\) мА, \(I_{AC} = \dfrac{35}{6} \approx 5{,}8\) мА.

Решение

Перерисуем схему (рис. слева: участок \(BC\) обозначен \(R_{BC}\)). Участок \(BC\) преобразуется в сбалансированный мост (рис. справа), и его сопротивление \(R_{BC} = 2\) кОм не зависит от \(R_z\), поэтому \(R_z\) может быть любым.

Показания вольтметра при подключении источника к \(A\) и \(B\): \(U_1 = U_0\,\dfrac{R_{BC}}{R_x + R_{BC}}\), откуда \(R_x = 3\) кОм. При подключении к \(A\) и \(C\): \(U_2 = U_0\,\dfrac{R_{BC}}{R_y + R_{BC}}\), откуда \(R_y = 2\) кОм.

Токи: \[I_{AB} = \frac{U_0}{R_y} + \frac{U_0}{R_x + R_{BC}} = 5~\text{мА} + 2~\text{мА} = 7~\text{мА},\] \[I_{AC} = \frac{U_0}{R_x} + \frac{U_0}{R_y + R_{BC}} = \frac{10}{3}~\text{мА} + \frac{10}{4}~\text{мА} = \frac{35}{6}~\text{мА} \approx 5{,}8~\text{мА}.\]

Подсказка

Выразите изменение давления через плотность газа \(\rho = \dfrac{p\mu}{RT}\) и сравните относительные изменения давления и температуры на начальном линейном участке.

Ответ

\(p_1 \approx 442\) кПа;  \(\rho_1 \approx 5{,}85\) кг/м\(^3\) (плотность на высоте \(1\) км такая же, как у поверхности, так как на участке \(0\)–\(2\) км она постоянна).

Решение

На участке от \(0\) до \(2\) км зависимость температуры от высоты линейная: \(T = T_0 - \alpha h\), где \(\alpha = \left|\dfrac{\Delta T}{\Delta h}\right| = 33{,}3\) К/км.

При малом изменении высоты \(\Delta h\) давление меняется на \(\Delta p = -\rho g\,\Delta h\), где \(\rho = \dfrac{p\mu}{RT}\). Тогда \[\frac{\Delta p}{p} = -\frac{\mu g}{RT}\,\Delta h = \frac{\mu g}{R\alpha}\cdot\frac{\Delta T}{T} = k\,\frac{\Delta T}{T}, \qquad k = \frac{\mu g}{R\alpha} \approx 1.\] Значит, давление также линейно убывает с высотой, и \(\dfrac{\Delta p}{\Delta h} = -\rho g = \text{const}\). Следовательно, плотность атмосферы постоянна от \(0\) до \(2\) км: \[\rho_0 = \frac{p_0\mu}{RT_0} = 5{,}85~\text{кг/м}^3 \qquad (T_0 = 288~\text{К}).\] Давление на высоте \(1\) км: \[p_1 = p_0 - \rho_0 g h_1 \approx 442~\text{кПа}.\]

Подсказка

Сила реакции кольца имеет вертикальную составляющую \(mg\) и горизонтальную составляющую \(m\upsilon_0^2/R\), направленную к центру кольца. Тангенциальное ускорение равно \(F_{\text{тр}}/m\).

Ответ

1) \(F_{\text{тр}} = \mu m\sqrt{g^2 + \left(\dfrac{\upsilon_0^2}{R}\right)^2}\);  2) \(a = \sqrt{(\mu g)^2 + (1+\mu^2)\left(\dfrac{\upsilon_0^2}{R}\right)^2}\);  3) \(\Delta S = \dfrac{\upsilon_0^2 \cdot 10^{-2}}{\mu\sqrt{g^2 + \left(\upsilon_0^2/R\right)^2}}\).

Решение

1) Сила реакции кольца \(\vec N = \vec N_1 + \vec N_2\), где \(|\vec N_1| = mg\) — её вертикальная составляющая, \(|\vec N_2| = \dfrac{m\upsilon_0^2}{R}\) — горизонтальная (центростремительная) в начальный момент. Сила трения \(F_{\text{тр}} = \mu N\), где \(N = \sqrt{N_1^2 + N_2^2}\). Отсюда \(F_{\text{тр}} = \mu m\sqrt{g^2 + \left(\dfrac{\upsilon_0^2}{R}\right)^2}\).

2) Полное ускорение \(\vec a = \vec a_n + \vec a_\tau\), где \(a_n = \dfrac{\upsilon_0^2}{R}\), \(a_\tau = \dfrac{F_{\text{тр}}}{m} = \mu\sqrt{g^2 + \left(\dfrac{\upsilon_0^2}{R}\right)^2}\). Тогда \[a = \sqrt{a_n^2 + a_\tau^2} = \sqrt{(\mu g)^2 + (1+\mu^2)\left(\frac{\upsilon_0^2}{R}\right)^2}.\]

3) С требуемой точностью используем приближённые формулы \(\Delta S = \upsilon_0\,\Delta t\) и \(\Delta\upsilon = a_\tau\,\Delta t\), где \(\Delta t\) — время, за которое скорость уменьшилась на \(1\%\). Тогда \(\Delta S = \dfrac{\upsilon_0\,\Delta\upsilon}{a_\tau} = \dfrac{\upsilon_0^2 \cdot 10^{-2}}{a_\tau}\), то есть \[\Delta S = \frac{\upsilon_0^2 \cdot 10^{-2}}{\mu\sqrt{g^2 + \left(\upsilon_0^2/R\right)^2}}.\]