Вращающийся сосуд с газом

Найдём сначала распределение давления газа вблизи оси сосуда. Рассмотрим элемент объёма газа \(\Delta r\,\Delta S\) (рис. 227). Центростремительное ускорение этого элемента \(a = \omega^2 r\) обеспечивается разностью соответствующих давлений: \[[p(r + \Delta r) - p(r)]\,\Delta S = \rho\,\Delta r\,\Delta S\,\omega^2 r.\] Поэтому для изменения давления получим уравнение \[dp/dr = \rho\omega^2 r.\] Так как для идеального газа выполняется соотношение \(\mu p = \rho RT\) (\(R\) — универсальная газовая постоянная), то \[dp/dr = p\,(\mu\omega^2/RT)\,r.\] Согласно условию задачи, при \(r \leqslant r_{\text{п}}\) \(p(r) - p_0 \ll p_0\); следовательно, \[p(r) \approx p_0\left(1 + \frac{\mu\omega^2}{2RT}\,r^2\right).\] Соответственно для плотности газа при \(r \leqslant r_{\text{п}}\) получим \[\rho(r) \approx \rho_0\left(1 + \frac{\mu\omega^2}{2RT}\,r^2\right), \qquad \rho_0 = p_0\frac{\mu}{RT},\] а для показателя преломления имеем \[n(r) = n_0 + kr^2, \qquad n_0 = 1 + \alpha\rho_0, \qquad k = \frac{\alpha p_0}{2}\left(\frac{\mu\omega}{RT}\right)^2.\] Найдём теперь угол преломления луча, проходящего через сосуд на расстоянии \(r\) от оси. Оптический путь, пройденный им в сосуде, равен \(n(r)\,l\).

Оптическая разность хода \(\delta_{\text{опт}}\) двух близких лучей после прохождения сосуда должна равняться геометрической разности хода \(\delta\), вызванной отклонением лучей от первоначального направления распространения. В этом случае интерференция лучей приведёт к их усилению (принцип Гюйгенса). Из рис. 228 следует, что \[\delta_{\text{опт}} = [n(r + \Delta r) - n(r)]\,l, \qquad \delta = \Delta r\sin\varphi.\] Отсюда \[\sin\varphi = \frac{\delta}{\Delta r} = \frac{[n(r + \Delta r) - n(r)]}{\Delta r}\,l = 2klr.\] Здесь можно сделать следующий вывод. Если рассматривать узкий пучок света такой, что угол отклонения \(\varphi\) будет мал, то \(\varphi \sim r\), т. е. вращающийся сосуд будет работать как рассеивающая линза с фокусным расстоянием \(F = (2kl)^{-1}\).

Итак, для максимального угла отклонения получим \[\sin\varphi_{\max} = 2klr_{\text{п}}.\] Поэтому искомый радиус пятна на экране равен \[R = r_{\text{п}} + L\operatorname{tg}\varphi_{\max}.\] В приближении рассеивающей линзы получим \[R \approx r_{\text{п}} + L\varphi_{\max} \approx r_{\text{п}} + 2klr_{\text{п}}L = r_{\text{п}}\left[1 + \alpha p_0 lL\left(\frac{\mu\omega}{RT}\right)^2\right].\]