Колебательный контур с диодами

Рассмотрим интервал времени после замыкания ключа \(K\), когда ток течет через нижний диод. Уравнение для напряжения \(U_C\) на конденсаторе: \(U_C = U_{\text{п}} + U_L\) или, с учетом того что \(U_L = -L\dfrac{dJ}{dt}\), и \(J = \dfrac{dq}{dt} = C\dfrac{dU_C}{dt}\), \[\dfrac{d^2U_C}{dt^2} + \dfrac{1}{LC}U_C = \dfrac{1}{LC}U_{\text{п}}.\] Из этого уравнения видно, что напряжение на конденсаторе будет меняться по гармоническому закону с частотой \(\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\). Из энергетических соображений найдем экстремальные значения напряжений \(U_{\text{э}}\) на конденсаторе: \[\dfrac{CU_0^2}{2} = C(U_0 - U_{\text{э}})U_{\text{п}} + \dfrac{CU_{\text{э}}^2}{2}.\] Это уравнение имеет два корня: \[U_{\text{э1}} = U_0,\quad U_{\text{э2}} = -(U_0 - 2U_{\text{п}}).\] Зависимость \(U_C(t)\) будет иметь вид: \[U_C(t) = (U_0 - U_{\text{п}})\cos(\omega_0 t) + U_{\text{п}}\] при \(0 \leq t \leq \dfrac{T}{2}\), где \(T = 2\pi\sqrt{LC}\) — период колебаний. После \(n\) полупериодов напряжение на конденсаторе \[U_{\text{С}n} = (-1)^n(U_0 - 2nU_{\text{п}})\quad (n = 1, 2, 3, \ldots).\] Очевидно, что колебания в контуре прекратятся, когда \[|U_{\text{С}n}| < |U_{\text{п}}|.\] В нашем случае \(n = 3\), поэтому время установления стационарного режима \[\tau = 3\pi\sqrt{LC} = 9{,}42\cdot 10^{-3}\text{ с}.\] Остаточное напряжение на конденсаторе \[U_{\text{С}} = -0{,}3\text{ В}.\] График \(U_{\text{С}}(t)\) представлен на рис. 146.