Спутник с солнечным парусом

Иллюстрацией к решению служит рис. 147. При обращении спутника вокруг Солнца по орбите Земли выполняется соотношение: \[\dfrac{mv_0^2}{R_0} = G\dfrac{mM}{R_0^2} = F_0.\qquad (1)\]

Здесь \(v_0\) — скорость спутника, \(R_0\) — радиус орбиты.

После раскрытия паруса на спутник начинается действовать, кроме гравитационной, сила светового давления. Эта сила равна \(F_s = 2W/c\), где \(W\) — световая мощность излучения Солнца, падающего на парус. Так как излучение Солнца изотропно, то \[F_s = 2\dfrac{L}{c}\dfrac{\pi r^2}{4\pi R^2},\] где \(R\) — расстояние от Солнца. Обозначим \(\alpha = GmM\), \(\beta = \dfrac{Lr^2}{2c}\). Тогда равнодействующая сил, приложенных к спутнику, будет равна \[F = \dfrac{\alpha}{R^2} - \dfrac{\beta}{R^2} = \dfrac{\alpha - \beta}{R^2}.\] Поскольку \(F\), как и \(F_0\), пропорциональна \(R^{-2}\), то движение спутника с парусом будет подчиняться законам Кеплера. Спутник будет двигаться по эллиптической траектории. Найдем большую полуось эллипса.

Из закона постоянства секториальной скорости следует \[v_0R_0 = v_1R_1,\qquad (2)\] а из закона сохранения энергии имеем \[\dfrac{mv_0^2}{2} - \dfrac{\alpha - \beta}{R_0} = \dfrac{mv_1^2}{2} - \dfrac{\alpha - \beta}{R_1}.\qquad (3)\] Подставляя (2) в (3), получим \[v_0^2\dfrac{R_1^2 - R_0^2}{R_1^2} = \dfrac{2(\alpha - \beta)}{m}\cdot\dfrac{R_1 - R_0}{R_1R_0},\] откуда \[R_1 = \dfrac{R_0^2v_0^2m}{2(\alpha - \beta) - R_0v_0^2m}.\] Используя соотношение (1), можно получить: \[R_1 = R_0\dfrac{\alpha}{\alpha - 2\beta}.\] Большая полуось эллипса будет равна \[a = \dfrac{1}{2}(R_1 + R_0) = R_0\dfrac{\alpha - \beta}{\alpha - 2\beta}.\] По третьему закону Кеплера время обращения по такой орбите равно времени обращения по окружности радиуса \(a\): \[T = \dfrac{2\pi a}{u},\quad\text{причем}\quad \dfrac{mu^2}{a} = \dfrac{\alpha - \beta}{a^2},\] здесь \(u\) — скорость спутника на круговой орбите радиуса \(a\), откуда \[T = 2\pi\sqrt{\dfrac{a^3m}{\alpha - \beta}}.\] С другой стороны, период обращения Земли \[T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{R_0^3}{\gamma M}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{R_0^3m}{\alpha}}.\] Следовательно: \[\dfrac{T}{T_0} = (\alpha - \beta)\sqrt{\dfrac{\alpha}{(\alpha - 2\beta)^3}}.\] Так как \(\dfrac{\alpha}{\beta} = \dfrac{2GmMc}{Lr^2} = 4{,}23\), то \(\dfrac{T}{T_0} \approx 2\).

Искомый период обращения спутника с солнечным парусом равен приблизительно 2 годам.