Аквариум с линзой

На рисунке 144, а, б показан ход луча, вышедшего из вершины стрелки в направлении оптического центра линзы.

Для каждого из двух случаев имеем:

а) \(n\alpha = \alpha_1\), \(\alpha = h/a\), \(\alpha_1 = h_1/b\), \[n\dfrac{h}{a} = \dfrac{h_1}{b};\qquad (1)\] б) \(\alpha = n\alpha_2\), \(\alpha_2 = h_2/b\), \[\dfrac{h}{a} = n\dfrac{h_2}{b}.\qquad (2)\] Разделив (1) на (2), получим для показателя преломления \[n = \sqrt{\dfrac{h_1}{h_2}}.\qquad (3)\] Из (1) и (3) получим: \[h = (a/b)\sqrt{h_1h_2}.\qquad (4)\] Найдем \(a\).

Формула тонкой линзы имеет вид \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{F_0}\) (рис. 145). Для малых углов из нее следует соотношение \(\varphi_1 + \varphi_2 = \varphi_0\), где \(\varphi_0\) — угол, под которым из фокуса виден радиус линзы. Применительно к нашей задаче, в силу симметрии линзы фокусное расстояние системы будет одним и тем же независимо от того, в какую часть аквариума налита жидкость. Обозначим это расстояние символом \(F\) и положим \(\dfrac{r}{F} = \varphi\) (здесь \(r\) — радиус линзы). Тогда, если жидкость в правом отсеке, то \(\varphi_1 n + \varphi_2 = \varphi\), а если в левом, то \(\varphi_1 + n\varphi_2 = \varphi\). Взяв разность двух последних уравнений, получим \[\varphi_1(n-1) = \varphi_2(n-1).\]

Поскольку \(n \neq 1\), то, сокращая последнее равенство на \((n-1)\), получим \(\varphi_1 = \varphi_2\) и, следовательно, \(a = b = L/2\).

Тогда формула (4) принимает вид: \[h = \sqrt{h_1h_2}.\] Подставляя в полученные выше выражения числовые значения входящих в них величин, находим \[n = 1{,}5,\quad a = b = 25\text{ см},\quad h = 3\text{ мм}.\]