Шарик на нити в сосуде

Поскольку плотность шарика \(\rho_{\text{ш}}\) меньше плотности воды \(\rho\), то шарик отклонится к оси вращения сосуда. Обозначим объем шарика через \(V\). Рассмотрим вращающийся сосуд с водой без шарика. Мысленно выделим объем \(V\) воды в месте расположения шарика (рис. 143, а). На жидкость в данном объеме действуют две силы: силы тяжести \(m\vec g = \rho V\vec g\) и выталкивающая сила \(\vec F\) (\(g\) — ускорение свободного падения). Под действием этих двух сил водяной «шарик» равномерно движется по окружности радиуса \(R = r - l\sin\alpha\) с угловой скоростью \(\omega\). Такое движение описывается двумя уравнениями: \[F_y - \rho V g = 0,\qquad (1)\] \[F_x = \rho V\omega^2(r - l\sin\alpha).\qquad (2)\] Рассмотрим теперь ситуацию, когда в воде находится деревянный шарик (рис. 143, б). В этом случае на шарик действуют четыре силы: вертикальная проекция выталкивающей силы \(\vec F_y\), горизонтальная проекция выталкивающей силы \(\vec F_x\), сила тяжести \(m_1\vec g = \rho_{\text{ш}}V\vec g\) и сила натяжения нити \(\vec T\). Уравнения, описывающие равномерное вращение шарика в горизонтальной плоскости, имеют вид: \[F_y - \rho_{\text{ш}}Vg - T\cos\alpha = 0,\qquad (3)\] \[F_x - T\sin\alpha = \rho_{\text{ш}}V\omega^2(r - l\sin\alpha).\qquad (4)\] Подставляя \(F_y\) и \(F_x\) из (1) и (2) в (3) и (4), получим систему двух уравнений относительно \(T\) и \(\omega\): \[T\cos\alpha = (\rho - \rho_{\text{ш}})Vg,\qquad (5)\] \[T\sin\alpha = V\omega^2(r - l\sin\alpha).\qquad (6)\] Исключая \(T\) из уравнений (5) и (6), получим \[\omega = \sqrt{\dfrac{g\operatorname{tg}\alpha}{r - l\sin\alpha}} = 10{,}6\text{ с}^{-1}.\]