Паучок и капля масла

Оптические силы поверхностей линзы складываются: сначала найдите силу поверхности, граничащей с воздухом, и силу поверхности, граничащей с бульоном. Для скорости изображения продифференцируйте формулу тонкой линзы по времени.

1) Аркаша видит своё действительное изображение на дне тарелки (изображение, которое видит паучок, формируется отражёнными лучами от дна тарелки), значит \(h\) больше, чем фокусное расстояние линзы со стороны воздуха.

2) Для расчёта расстояния до верхней и нижней фокальной плоскости линзы, лежащей на бульоне, найдём оптическую силу линзы, опущенной в воду. Сначала разделим её на две части, одну лежащую в воздухе, а другую в воде, а затем просуммируем оптические силы этих частей: \[\Phi_1 = \frac{n_{\text{масла}}-1}{R_1}, \qquad \Phi_2 = \frac{n_{\text{масла}}-n_{\text{бульона}}}{R_2},\] \[\Phi = \Phi_1+\Phi_2 = \frac{n_{\text{масла}}-1}{R_1} + \frac{n_{\text{масла}}-n_{\text{бульона}}}{R_2}.\] Кроме того, оптическая сила линзы равна \(D = \dfrac{n_{\text{возд}}}{f_1} = \dfrac{n_{\text{бульона}}}{f_2}\). Отсюда можно выразить расстояния до верхней и нижней фокальной плоскости (\(f_1\) и \(f_2\) соответственно): \[f_1 = \frac{R_1R_2}{(n_{\text{масла}}-1)R_2+(n_{\text{масла}}-n_{\text{бульона}})R_1}, \qquad f_2 = \frac{R_1R_2\,n_{\text{бульона}}}{(n_{\text{масла}}-1)R_2+(n_{\text{масла}}-n_{\text{бульона}})R_1}.\]

3) Теперь найдём, с какой скоростью движется наше изображение. Оно будет действительным. С поправками на показатели преломления сред слева и справа линзы можно записать формулу тонкой линзы, используя расстояния от объекта до линзы и от линзы до изображения. Запишем её для определённого момента времени \(t\): \[\frac{n_{\text{бульона}}}{f_1} = \frac{n_{\text{возд}}}{a} + \frac{n_{\text{бульона}}}{b}.\] Теперь запишем эту формулу для момента времени \(t+dt\): \[\frac{1}{f_1} = \frac{1}{a-da} + \frac{n_{\text{бульона}}}{b+db}.\] Вычтем друг из друга две предыдущие записи: \[0 = \frac{da}{a(a-da)} + \frac{db\cdot n_{\text{бульона}}}{b(b+db)}.\] Теперь, поделив всё на \(dt\), получим зависимость скоростей от отношения \((b/a)^2\), то есть от линейного увеличения в квадрате и от показателя преломления бульона. Но так как нам нужно найти скорость в системе отсчёта паучка, прибавим \(v\): \[v_1 = \frac{v\,\Gamma^2}{n_{\text{бульона}}} + v.\] Так же можно посчитать скорость движения изображения из знания коэффициента продольного увеличения тонкой линзы.