Ящик с муфтой на пружинах

Используйте законы сохранения импульса и энергии. Экстремумы скорости ящика достигаются там, где пружины не деформированы.

Пусть \(V_0\) — начальная скорость ящика. Запишем закон сохранения импульса в проекции на направление \(V_0\): \[MV_0 = MV_1 + mV_2,\] где \(M\) — масса ящика, \(m\) — масса муфты, \(V_1\) и \(V_2\) — проекции скоростей ящика и муфты. Скорость ящика достигает своих экстремальных значений в те моменты времени, когда его ускорение обращается в нуль, т.е. когда пружины не деформированы. Запишем закон сохранения энергии для этого случая: \[\frac{MV_0^2}{2} = \frac{MV_1^2}{2} + \frac{mV_2^2}{2}.\] Поделив оба уравнения на \(m\) и введя отношение масс \(\alpha = M/m\), получаем: \[\alpha V_0 = \alpha V_1 + V_2, \qquad \alpha V_0^2 = \alpha V_1^2 + V_2^2.\] Перепишем эти уравнения так: \[\alpha(V_0-V_1) = V_2, \qquad \alpha(V_0^2-V_1^2) = V_2^2.\] Исключая отсюда \(V_2\), получаем уравнение для \(V_1\): \[\alpha(V_0^2-V_1^2) = \alpha^2(V_0-V_1)^2 \quad\Rightarrow\quad (V_0-V_1)\bigl(\alpha(V_0-V_1)-(V_0+V_1)\bigr) = 0.\] Уравнение имеет два корня, которые определяют максимальную и минимальную скорости ящика: \[V_{\max} = V_0, \qquad V_{\min} = \frac{\alpha-1}{\alpha+1}\,V_0.\] Отношение \(x\) этих скоростей равно: \[x = \frac{V_{\min}}{V_{\max}} = \frac{\alpha-1}{\alpha+1} = 0{,}8.\]