Курчатов, 2017/18, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

До отрыва груз движется с ускорением, а после отрыва совершает гармонические колебания вокруг положения равновесия пружины. Найдите фазу колебаний в момент отрыва.

Ответ

\(\tau = \dfrac{T}{4} + \dfrac{T}{2\pi}\operatorname{arctg}\sqrt{\dfrac{a}{2(g-a)}} = \dfrac{T}{3}\).

Решение

Рассмотрим сначала движение груза вместе с подставкой. Направим ось \(x\) вниз и будем отсчитывать координату груза от начального положения, в котором пружина не растянута. За начало отсчёта времени выберем момент начала движения. Запишем для груза второй закон Ньютона в проекции на ось \(x\): \[ma = mg - kx - N,\] где \(m\) — масса груза, \(k\) — жёсткость пружины, \(N\) — сила нормальной реакции, действующая со стороны подставки. Пусть \(x_0\) — координата груза в момент отрыва от подставки. Учитывая, что в этот момент сила \(N\) обращается в нуль, получаем: \[ma = mg - kx_0 \quad\Rightarrow\quad x_0 = \frac{m}{k}(g-a) = \frac{g-a}{\omega^2},\] где \(\omega = \sqrt{k/m}\) — частота свободных колебаний груза на пружине. Найдём скорость \(V_0\), которую имеет груз в момент отрыва: \[V_0 = at, \qquad x_0 = \frac{at^2}{2} \quad\Rightarrow\quad x_0 = \frac{V_0^2}{2a} \quad\Rightarrow\quad V_0 = \sqrt{2ax_0} = \frac{\sqrt{2a(g-a)}}{\omega}.\] После отрыва груз совершает гармонические колебания с частотой \(\omega\). Найдём координату положения равновесия \(x_p\): \[kx_p = mg \quad\Rightarrow\quad x_p = \frac{mg}{k} = \frac{g}{\omega^2}.\] Для описания колебаний введём новую координату \(y = x - x_p\), отсчитанную от положения равновесия. Время будем отсчитывать от момента отрыва. Начальное значение координаты \(y\) равно: \[y_0 = x_0 - x_p = \frac{g-a}{\omega^2} - \frac{g}{\omega^2} = -\frac{a}{\omega^2}.\] Начальная скорость груза равна \(V_0\). Зависимости от времени координаты и скорости груза при колебаниях определяются соотношениями: \[y = A\sin(\omega t+\varphi), \qquad V_y = \omega A\cos(\omega t+\varphi),\] где \(A\) — амплитуда колебаний (положительная величина), \(\varphi\) — начальная фаза. Полагая \(t = 0\), получаем: \[y_0 = A\sin\varphi, \qquad V_0 = \omega A\cos\varphi.\] Так как \(y_0 < 0\), то угол \(\varphi\) лежит в четвёртой четверти. Выразим его через арктангенс: \[\operatorname{tg}\varphi = \frac{\omega y_0}{V_0} = -\frac{a}{\sqrt{2a(g-a)}} = -\sqrt{\frac{a}{2(g-a)}} \quad\Rightarrow\quad \varphi = -\operatorname{arctg}\sqrt{\frac{a}{2(g-a)}}.\] В момент времени \(\tau\), когда пружина растянута на максимальную длину, скорость груза обращается в нуль: \[V_y = 0 \quad\Rightarrow\quad \cos(\omega\tau+\varphi) = 0 \quad\Rightarrow\quad \omega\tau+\varphi = \frac{\pi}{2} \quad\Rightarrow\quad \tau = \frac{1}{\omega}\left(\frac{\pi}{2}-\varphi\right).\] Полагая \(\omega = 2\pi/T\), получаем: \[\tau = \frac{T}{2\pi}\left(\frac{\pi}{2}-\varphi\right) = \frac{T}{4} + \frac{T}{2\pi}\operatorname{arctg}\sqrt{\frac{a}{2(g-a)}}.\] Этот результат можно получить по-другому, представив \(\tau\) в виде \(\tau = \tau' + \dfrac{T}{4}\), где \(\tau'\) — время движения от момента отрыва до положения равновесия, \(T/4\) — время движения от положения равновесия до момента максимального удлинения пружины. Для \(\tau'\) имеем: \[y = 0 \quad\Rightarrow\quad \sin(\omega\tau'+\varphi) = 0 \quad\Rightarrow\quad \omega\tau'+\varphi = 0 \quad\Rightarrow\quad \tau' = -\frac{\varphi}{\omega} = \frac{T}{2\pi}\operatorname{arctg}\sqrt{\frac{a}{2(g-a)}}.\] При \(a = \dfrac{2g}{5}\) результат для \(\tau\) упрощается: \[\tau = \frac{T}{4} + \frac{T}{2\pi}\operatorname{arctg}\frac{1}{\sqrt3} = \frac{T}{4} + \frac{T}{2\pi}\cdot\frac{\pi}{6} = \frac{T}{3}.\]

Подсказка

Используйте законы сохранения импульса и энергии. Экстремумы скорости ящика достигаются там, где пружины не деформированы.

Ответ

\(x = \dfrac{\alpha-1}{\alpha+1} = 0{,}8\).

Решение

Пусть \(V_0\) — начальная скорость ящика. Запишем закон сохранения импульса в проекции на направление \(V_0\): \[MV_0 = MV_1 + mV_2,\] где \(M\) — масса ящика, \(m\) — масса муфты, \(V_1\) и \(V_2\) — проекции скоростей ящика и муфты. Скорость ящика достигает своих экстремальных значений в те моменты времени, когда его ускорение обращается в нуль, т.е. когда пружины не деформированы. Запишем закон сохранения энергии для этого случая: \[\frac{MV_0^2}{2} = \frac{MV_1^2}{2} + \frac{mV_2^2}{2}.\] Поделив оба уравнения на \(m\) и введя отношение масс \(\alpha = M/m\), получаем: \[\alpha V_0 = \alpha V_1 + V_2, \qquad \alpha V_0^2 = \alpha V_1^2 + V_2^2.\] Перепишем эти уравнения так: \[\alpha(V_0-V_1) = V_2, \qquad \alpha(V_0^2-V_1^2) = V_2^2.\] Исключая отсюда \(V_2\), получаем уравнение для \(V_1\): \[\alpha(V_0^2-V_1^2) = \alpha^2(V_0-V_1)^2 \quad\Rightarrow\quad (V_0-V_1)\bigl(\alpha(V_0-V_1)-(V_0+V_1)\bigr) = 0.\] Уравнение имеет два корня, которые определяют максимальную и минимальную скорости ящика: \[V_{\max} = V_0, \qquad V_{\min} = \frac{\alpha-1}{\alpha+1}\,V_0.\] Отношение \(x\) этих скоростей равно: \[x = \frac{V_{\min}}{V_{\max}} = \frac{\alpha-1}{\alpha+1} = 0{,}8.\]

Подсказка

Сначала проверьте, станет ли пар насыщенным после охлаждения, сравнив его объём с максимальным объёмом насыщенного пара при \(T_2\). При изотермическом сжатии насыщенного пара работа равна \(P_0\Delta V\).

Ответ

\(m = \dfrac{\mu A(4T_2-T_1)}{RT_1T_2} = 6\) г.

Решение

Рассмотрим изотермы пара на диаграмме \((P,V)\). При температурах ниже критической (647 К для воды) на изотермах имеются горизонтальные участки постоянного давления, соответствующие насыщенному пару. Давление на этих участках при температурах \(T_1\) и \(T_2\) равно соответственно \(10P_0\) и \(P_0\). Так как начальное давление \(2P_0\) меньше, чем \(10P_0\), то в начальном состоянии имеем ненасыщенный пар. Пусть \(\nu_1\) — число молей пара, \(V_1\) — его объём. Тогда: \[2P_0V_1 = \nu_1RT_1.\] Выясним, будет ли пар насыщенным после изохорического охлаждения. Обозначим через \(V_{\text{н}}\) максимальный объём, который могут занимать \(\nu_1\) молей насыщенного пара при температуре \(T_2\). Учитывая, что давление насыщенного пара при этой температуре равно \(P_0\), имеем: \[P_0V_{\text{н}} = \nu_1RT_2.\] Поделив первое уравнение на второе, получаем: \[\frac{2V_1}{V_{\text{н}}} = \frac{T_1}{T_2} \quad\Rightarrow\quad \frac{V_1}{V_{\text{н}}} = \frac{T_1}{2T_2} \approx 0{,}6.\] Так как \(V_1 < V_{\text{н}}\), то после изохорического охлаждения пар становится насыщенным. Точка, изображающая его состояние на диаграмме \((P,V)\), лежит на горизонтальном участке изотермы \(T_2\). Поэтому дальнейшее изотермическое сжатие пара идёт при постоянном давлении \(P_0\), и работа внешних сил легко вычисляется: \[A = P_0\left(V_1-\frac{V_1}{2}\right) = \frac{P_0V_1}{2} \quad\Rightarrow\quad P_0V_1 = 2A.\] Пусть \(\nu\) — число молей сконденсировавшейся воды. Тогда число молей пара в конечном состоянии равно \((\nu_1-\nu)\). Пренебрегая объёмом воды по сравнению с объёмом пара, получаем: \[P_0\frac{V_1}{2} = (\nu_1-\nu)RT_2 \quad\Rightarrow\quad \nu = \nu_1 - \frac{P_0V_1}{2RT_2} = \nu_1 - \frac{A}{RT_2}.\] Начальное число молей пара равно: \[\nu_1 = \frac{2P_0V_1}{RT_1} = \frac{4A}{RT_1}.\] Масса \(m\) сконденсировавшейся воды равна: \[m = \mu\nu = \mu\left(\frac{4A}{RT_1}-\frac{A}{RT_2}\right) = \frac{\mu A(4T_2-T_1)}{RT_1T_2}.\] Подставим числовые значения: \[m = \frac{0{,}018\cdot 450\cdot(4\cdot 373-453)}{8{,}31\cdot 453\cdot 373} = 0{,}006 \text{ кг} = 6 \text{ г}.\]

Подсказка

Энергия системы — сумма энергий всех попарных взаимодействий. Подумайте, какие пары зарядов выгодно делать разноимёнными и как расставить заряды, как в кристаллической решётке.

Ответ

\(W_{\min} = W_1\left(-12+\dfrac{12}{\sqrt2}-\dfrac{4}{\sqrt3}\right) \simeq -5{,}82\,W_1\), где \(W_1 = \pm\dfrac{kq^2}{a}\) — энергия пары зарядов на ребре, т.е. \(W_{\min}\simeq -5{,}82\,\dfrac{kq^2}{a}\).

Решение

Энергия электростатического взаимодействия представляет собой сумму всех энергий попарных взаимодействий. В кубе все заряды могут находиться друг от друга на расстоянии \(a\) (ближайшие соседи, вдоль ребра), \(\sqrt2\,a\) (по диагоналям граней куба), \(\sqrt3\,a\) (диаметрально противоположные точки). Обозначим их соседями первого, второго и третьего типа соответственно. Нетрудно заметить, что соседей первого типа — 12, второго — 12, третьего — 4. Энергия взаимодействия каждой пары: \[W_1 = \pm\frac{kq^2}{a}; \qquad W_2 = \pm\frac{kq^2}{\sqrt2\,a} = \pm\frac{1}{\sqrt2}W_1; \qquad W_3 = \pm\frac{kq^2}{\sqrt3\,a} = \pm\frac{1}{\sqrt3}W_1.\] Нетрудно догадаться, что для того, чтобы минимизировать общую энергию, надо создать как можно больше разноимённых соседей первого типа. Существует конфигурация, где все соседи первого типа — разноимённые, например ячейка кристаллической решётки NaCl:

У такой решётки все соседи второго типа одноимённые, а третьего — разноимённые. Тогда энергия равна: \[W = -12W_1 + 12W_2 - 4W_3 = W_1\left(-12+\frac{12}{\sqrt2}-\frac{4}{\sqrt3}\right) \simeq -5{,}82\,W_1.\] Эта энергия является минимальной.

В силу высокой симметрии куба расстановок зарядов в вершинах, не переводимых друг в друга вращениями и зеркальными отображениями, не так много. Все они получаются из перестановок зарядов вышеуказанной конфигурации вдоль вертикальных рёбер (т.е. перестановка заряда из верхней грани с его соседом снизу). Необходимо доказать, что данная конфигурация обладает наименьшей энергией. Допускается обоснованный перебор вариантов.

Также доказать, что данная энергия минимальна, можно, исходя из оценки энергии одного заряда. Возьмём произвольный заряд \(+q\). Для того чтобы минимизировать его энергию, будем располагать заряды следующим образом: заряды \(-q\) расположим в качестве ближайших соседей (3 шт.), ещё один \(-q\) будет соседом второго типа, 4 заряда \(+q\) займут оставшиеся места. Такое расположение отличается от оптимального ровно одной перестановкой, и энергия всей системы в данном случае будет больше, т.к. энергии всех остальных зарядов сильно вырастут за счёт большого количества одноимённых соседей первого типа.

Ключевая особенность расположения: минимум энергии системы не соответствует минимуму для каждого заряда.

Подсказка

В первом положении конденсаторы \(C\) и \(2C\) соединены последовательно и заряжаются от ЭДС. Во втором положении заряд на \(2C\) перераспределяется между \(2C\) и \(3C\), пока потенциалы не выровняются.

Ответ

а) \(Q_1 = \dfrac13 C\mathcal{E}^2\);  б) \(Q_2 = \dfrac{1}{15} C\mathcal{E}^2\);  в) \(\Delta q = \dfrac25 C\mathcal{E}\).

Решение

а) После замыкания ключа в положении 1 конденсаторы зарядятся. Обозначим заряды на конденсаторах как показано на рисунке 5.1:

Конденсаторы \(C\) и \(2C\) в этом случае соединены последовательно, поэтому \(q_1 = q_2 = q\). Для цепи можно записать уравнение: \[\mathcal{E} = \frac{q}{C} + \frac{q}{2C}, \quad \text{откуда} \quad q = \frac23 C\mathcal{E}.\] Работа ЭДС пойдёт на приращение энергии конденсаторов и на выделение тепла на резисторах: \[\mathcal{E}q = \frac{q^2}{2C} + \frac{q^2}{2\cdot 2C} + Q_1.\] Тогда \[Q_1 = \frac23 C\mathcal{E}^2 - \frac32\cdot\frac{(2/3\,C\mathcal{E})^2}{2C} = \frac13 C\mathcal{E}^2.\]

б) При переключении ключа \(K\) в положение 2 пойдёт процесс перезарядки конденсаторов с выделением тепла на резисторах. В данном случае конденсаторы \(2C\) и \(3C\) не будут соединены последовательно, т.к. на конденсаторе \(2C\) перед переключением был заряд. Обозначим новые заряды на конденсаторах как показано на рисунке 5.2:

Из закона сохранения заряда: \(q = q_2 = q_2' + q_3'\). Ток прекратится, когда на конденсаторах выровняются потенциалы: \(\dfrac{q_2'}{2C} = \dfrac{q_3'}{3C}\). Тогда \[q_2' = \frac25 q = \frac{4}{15}C\mathcal{E}, \qquad q_3' = \frac35 q = \frac25 C\mathcal{E}.\] Энергия, запасённая в конденсаторе \(2C\), перераспределится между конденсаторами \(2C\) и \(3C\), часть уйдёт в тепло: \[\frac{q_2^2}{2\cdot 2C} = \frac{q_2'^2}{2\cdot 2C} + \frac{q_3'^2}{2\cdot 3C} + Q_2,\] откуда \[Q_2 = \frac{1}{15}C\mathcal{E}^2.\]

в) Заряд, протекший через ключ после переключения в положение 2: \[\Delta q = |q_2 - q_2'| = |q_3'| = \frac25 C\mathcal{E}.\]

Подсказка

Оптические силы поверхностей линзы складываются: сначала найдите силу поверхности, граничащей с воздухом, и силу поверхности, граничащей с бульоном. Для скорости изображения продифференцируйте формулу тонкой линзы по времени.

Ответ

\(f_1 = \dfrac{R_1R_2}{(n_{\text{масла}}-1)R_2+(n_{\text{масла}}-n_{\text{бульона}})R_1}\);  \(f_2 = \dfrac{R_1R_2\,n_{\text{бульона}}}{(n_{\text{масла}}-1)R_2+(n_{\text{масла}}-n_{\text{бульона}})R_1}\);  \(v_1 = \dfrac{v\,\Gamma^2}{n_{\text{бульона}}} + v\).

Решение

1) Аркаша видит своё действительное изображение на дне тарелки (изображение, которое видит паучок, формируется отражёнными лучами от дна тарелки), значит \(h\) больше, чем фокусное расстояние линзы со стороны воздуха.

2) Для расчёта расстояния до верхней и нижней фокальной плоскости линзы, лежащей на бульоне, найдём оптическую силу линзы, опущенной в воду. Сначала разделим её на две части, одну лежащую в воздухе, а другую в воде, а затем просуммируем оптические силы этих частей: \[\Phi_1 = \frac{n_{\text{масла}}-1}{R_1}, \qquad \Phi_2 = \frac{n_{\text{масла}}-n_{\text{бульона}}}{R_2},\] \[\Phi = \Phi_1+\Phi_2 = \frac{n_{\text{масла}}-1}{R_1} + \frac{n_{\text{масла}}-n_{\text{бульона}}}{R_2}.\] Кроме того, оптическая сила линзы равна \(D = \dfrac{n_{\text{возд}}}{f_1} = \dfrac{n_{\text{бульона}}}{f_2}\). Отсюда можно выразить расстояния до верхней и нижней фокальной плоскости (\(f_1\) и \(f_2\) соответственно): \[f_1 = \frac{R_1R_2}{(n_{\text{масла}}-1)R_2+(n_{\text{масла}}-n_{\text{бульона}})R_1}, \qquad f_2 = \frac{R_1R_2\,n_{\text{бульона}}}{(n_{\text{масла}}-1)R_2+(n_{\text{масла}}-n_{\text{бульона}})R_1}.\]

3) Теперь найдём, с какой скоростью движется наше изображение. Оно будет действительным. С поправками на показатели преломления сред слева и справа линзы можно записать формулу тонкой линзы, используя расстояния от объекта до линзы и от линзы до изображения. Запишем её для определённого момента времени \(t\): \[\frac{n_{\text{бульона}}}{f_1} = \frac{n_{\text{возд}}}{a} + \frac{n_{\text{бульона}}}{b}.\] Теперь запишем эту формулу для момента времени \(t+dt\): \[\frac{1}{f_1} = \frac{1}{a-da} + \frac{n_{\text{бульона}}}{b+db}.\] Вычтем друг из друга две предыдущие записи: \[0 = \frac{da}{a(a-da)} + \frac{db\cdot n_{\text{бульона}}}{b(b+db)}.\] Теперь, поделив всё на \(dt\), получим зависимость скоростей от отношения \((b/a)^2\), то есть от линейного увеличения в квадрате и от показателя преломления бульона. Но так как нам нужно найти скорость в системе отсчёта паучка, прибавим \(v\): \[v_1 = \frac{v\,\Gamma^2}{n_{\text{бульона}}} + v.\] Так же можно посчитать скорость движения изображения из знания коэффициента продольного увеличения тонкой линзы.